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狄利克雷问题

寻找区域边界 partialR 上的连续函数 f 与定义在区域 R 上且在 partialR 上取值 f 的调和函数之间联系的问题。一般来说，该问题询问这样的解是否存在，如果存在，是否是唯一的。狄利克雷问题在数学物理中极其重要 (Courant and Hilbert 1989, pp. 179-180 and 240; Logan 1997; Krantz 1999b)。

如果 f 是开单位圆盘 partialD(0,1) 边界上的连续函数，则定义

u(z)={1/(2pi)int_0^(2pi)f(e^(ipsi))(1-|z|^2)/(|z-e^(ipsi)|^2)dpsi if z in D(0,1); f(z) if z in partialD(0,1),
(1)

其中 partialD(0,1) 是 D(0,1) 的边界。那么 u 在闭单位圆盘 D^_(0,1) 上连续，且在 D(0,1) 上调和 (Krantz 1999a, p. 93)。

对于没有极点的有理边界数据的情况，狄利克雷问题的解也是有理的 (Ebenfelt and Viscardi 2005)，该证明使得 Viscardi 赢得了 2005-2006 年西门子-西屋比赛 (Siemens Foundation 2005; Mathematical Association of America 2006)。

另请参阅

泊松积分, 泊松核

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参考文献

Courant, R. and Hilbert, D. 数学物理方法，第 1 卷. New York: Wiley, pp. 179-180 and 240, 1989.Ebenfelt, P. and Viscardi, M. "On the Solution of the Dirichlet Problem with Rational Holomorphic Boundary Data." Comput. Meth. Func. Th. 5, 445-457, 2005. http://www.heldermann.de/CMF/CMF05/CMF052/cmf05027.htm.Krantz, S. G. "狄利克雷问题" 和 "共形映射在狄利克雷问题中的应用." §7.3.3, 7.7.1, and 14.2 in 复变量手册. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 93, 97-98, and 164-168, 1999a.Krantz, S. G. 调和分析全景. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1999b.Logan, J. D. 应用数学，第 2 版. New York: Wiley, 1997.Mathematical Association of America. "数学学生赢得西门子-西屋比赛." Jan. 9, 2006. http://www.maa.org/news/010906westinghouse.html.Siemens Foundation. "2005 年西门子竞赛全国赛." http://www.siemens-foundation.org/competition/2005/2005Nationals.htm#Michael.

在 Wolfram|Alpha 中引用

狄利克雷问题

请引用为

Weisstein, Eric W. "狄利克雷问题。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DirichletProblem.html

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