范畴

一个范畴由三部分组成：对象的集合，对于每对对象，态射（有时称为“箭头”）的集合，以及定义在相容态射对上的二元运算，称为复合。范畴必须满足单位元公理和结合律公理，这类似于幺半群公理。

态射必须遵守以下定律

1. 如果 是从 到 的态射（简写为 ），并且 ，则存在一个从 到 的态射 （通常读作 “ 与 的复合”）。

2. 态射的复合（如果已定义）是结合的，因此如果 ，，并且 ，则 。

3. 对于每个对象 a，存在一个单位态射 ，使得对于任何 ， 且 。

在大多数基于集合的具体范畴中，对象是某种数学结构（例如，群、向量空间或光滑流形），而态射是两个对象之间的映射。任何对象与其自身的恒等映射就是单位态射，而态射的复合只是函数复合。

通常要求态射保持对象的数学结构。因此，如果对象都是群，那么态射的一个好的选择将是群同态。类似地，对于向量空间，可以选择线性映射，对于可微流形，可以选择可微映射。

在拓扑空间范畴中，态射通常是拓扑空间之间的连续映射。然而，也存在其他以拓扑空间为对象的范畴结构，但它们远不如拓扑空间和连续映射的“标准”范畴重要。