格拉斯曼流形

格拉斯曼流形 是 维子空间在一个 维向量空间中的集合。例如，线的集合 是射影空间。实格拉斯曼流形（以及复格拉斯曼流形）是流形的例子。例如，子空间 有一个邻域 。子空间 在 中，如果 和 并且 。那么对于任何 ，向量 和 是唯一确定的，通过要求 和 。其他六个条目为 提供坐标。

一般来说，格拉斯曼流形可以在一个点 以类似的方式给出坐标。令 为 维子空间的开集，这些子空间投影到 上。首先选择一个 标准正交基 对于 ，使得 张成 。使用这个基，可以取任意 个向量并构成一个 矩阵。对 的基执行此操作，另一个 维子空间在 中，得到一个 矩阵，它在行的线性组合下是良好定义的。最后一步是进行行简化，使得前 块是单位矩阵。然后，最后 块由 唯一确定。此块中的条目给出了开集 的坐标。

如果 是 的标准基， 的基由 个向量 给出，。如果 是维度为 的子空间 的基， 的子空间 对应于 中的一个点 ，其坐标是 关于 的上述基的分量。这些坐标是所谓的 格拉斯曼坐标 。

基 的不同选择产生不同的 元组坐标，它与原始的 元组相差一个非零乘法常数，因此它对应于相同的点。

格拉斯曼流形也是一个齐次空间。一个子空间由它的基向量确定。置换基向量的群是 。固定 的矩阵是一个对角分块矩阵，左上角是一个 非奇异矩阵，右下角是一个 可逆矩阵。 在格拉斯曼流形 上传递作用。令 为 的稳定子（或迷向子）。那么 是 的子群，由矩阵 组成，使得对于所有 , 满足 和 ，有 。 与 同构。

格拉斯曼流形的切空间由 矩阵给出，即从 到商向量空间 的线性映射。

元素 是 阶子式，对于 矩阵，其第 行包含 关于基 的分量。它对应于一个线性变换 ，其值域是 。一般来说，这种线性变换的值域的维度为 当且仅当对应的 矩阵的秩为 。

令 为 的子集，由矩阵 的所有 阶子式（可以看作 个坐标的序列）等于零，并且一个 阶子式非零的条件定义。格拉斯曼流形 可以看作是从 的映射的像，该映射将 的每个矩阵映射到其 阶子式的序列。

它是一个代数射影代数簇，由称为普吕克方程的方程定义。它是一个维度为 的非奇异簇。