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抛物面测地线

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抛物面上的测地线

x=sqrt(u)cosv
(1)
y=sqrt(u)sinv
(2)
z=u
(3)

具有由以下定义的微分参数

P=((partialx)/(partialu))^2+((partialy)/(partialu))^2+((partialz)/(partialu))^2
(4)
=1+1/(4u)
(5)
Q=(partialx)/(partialu)(partialx)/(partialv)+(partialy)/(partialu)(partialy)/(partialv)+(partialz)/(partialu)(partialz)/(partialv)
(6)
=1/(2sqrt(u))(cosv-sinv)
(7)
R=((partialx)/(partialv))^2+((partialy)/(partialv))^2+((partialz)/(partialv))^2
(8)
=u.
(9)

然后通过求解欧拉-拉格朗日微分方程给出测地线

((partialP)/(partialv)+2v^'(partialQ)/(partialv)+v^('2)(partialR)/(partialv))/(2sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2)))-d/(du)((Q+Rv^')/(sqrt(P+2Qv^'+Rv^('2))))=0.
(10)

正如 Weinstock (1974) 给出的，解简化为

u-c^2=u(1+4c^2)sin^2{v-2cln[k(2sqrt(u-c^2)+sqrt(4u+1))]}.
(11)

另请参阅

测地线

使用 探索

参考文献

Weinstock, R. 变分法，及其在物理学和工程学中的应用。 New York: Dover, p. 45, 1974.

在 上引用

抛物面测地线

引用为

Weisstein, Eric W. “抛物面测地线。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ParaboloidGeodesic.html

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