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贝塞尔不等式

如果 f(x) 是分段连续的，并且具有广义傅里叶级数

sum_(i)a_iphi_i(x)
(1)

具有权重函数 w(x)，则必然成立

int[f(x)-sum_(i)a_iphi_i(x)]^2w(x)dx>=0
(2)
intf^2(x)w(x)dx-2sum_(i)a_iintf(x)phi_i(x)w(x)dx+sum_(i)a_i^2intphi_i^2(x)w(x)dx>=0.
(3)

但是，系数的广义傅里叶级数由下式给出

a_m=intf(x)phi_m(x)w(x)dx,
(4)

所以

intf^2(x)w(x)dx-2sum_(i)a_i^2+sum_(i)a_i^2>=0
(5)
intf^2(x)w(x)dx>=sum_(i)a_i^2.
(6)

如果函数 {phi_i} 没有构成完备正交系，则方程 (6) 是一个不等式。如果它们构成完备正交系，则不等式 (2) 变为等式，因此 (6) 变为等式，被称为帕塞瓦尔定理。

如果 f(x) 具有带有系数 a_0、 a_1、 ... 、 a_n 和 b_1、 ...、 b_n 的简单傅里叶级数展开，则

1/2a_0^2+sum_(k=1)^infty(a_k^2+b_k^2)<=1/piint_(-pi)^pi[f(x)]^2dx.
(7)

这个不等式也可以从柯西-施瓦茨不等式推导出来

|<f|g>|^2<=<f|f><g|g>
(8)

通过将 g 展开为 特征函数 f 的叠加，g=sum_(i)a_if_i。然后

<f|g>=sum_(i)a_i<f|f_i><=sum_(i)a_i
(9)

并且

|<f|g>|^2<=|sum_(i)a_i|^2=(sum_(i)a_i)(sum_(i)a^__i)
(10)
=sum_(i)a_ia^__i<=<f|f><g|g>,
(11)

其中 f^_ 是复共轭。如果 g 被归一化，则 <g|g>=1 并且

<f|f>>=sum_(i)a_ia^__i.
(12)

另请参阅

完备正交系, 广义傅里叶级数, 帕塞瓦尔定理, 柯西-施瓦茨不等式, 三角不等式

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参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 页 526-527, 1985.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 页 1102, 2000.Kaplan, W. Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 页 501, 1992.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

贝塞尔不等式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Bessel's Inequality." 来自 MathWorld—— Wolfram 网络资源. https://mathworld.net.cn/BesselsInequality.html

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