广义傅里叶积分

所谓的广义傅里叶积分是一对积分——“下傅里叶积分”和“上傅里叶积分”——它们允许某些复值函数 被分解为积分定义的函数的和，每个函数都类似于与 相关的通常的傅里叶积分，并保持其若干关键性质。

设 为实变量，设 为复变量，并设 为函数，对于该函数， 当 时，对于该函数， 当 时，并且对于该函数， 具有解析傅里叶积分，其中 是有限实常数。 接下来，分别通过以下方式定义与 相关的上、下广义傅里叶积分 和 ：

(1)

和

(2)

在复数区域 和 上，分别地。然后，对于 和 ,

(3)

其中第一个积分被加数等于 对于 并且对于 为零，而第二个积分被加数对于 为零，并且对于 等于 。分解 () 称为对应于 的广义傅里叶积分。

请注意，一些文献使用与 不同的乘法常数来定义上、下积分 和 ，因此 () 中的恒等式可能看起来略有不同。