格林定理

格林定理是一个向量恒等式，它等价于平面上的旋度定理。在平面上边界为的区域上，格林定理表述为

(1)

其中左边是线积分，右边是面积分。这也可以紧凑地写成向量形式：

(2)

如果在绕行进时区域在左侧，那么面积可以使用优雅的公式计算：

(3)

这给出了区域面积与其边界周围的线积分之间令人惊讶的联系。对于参数化指定的平面曲线，对于，方程 (3) 变为：

(4)

这给出了曲线所包围的有符号面积。

上面的对称形式对应于格林定理，其中和，得出：

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)
			(9)

然而，我们也可以自由选择和的其他值，包括和，得到“更简单”的形式：

(10)

以及和，得到：

(11)

类似的程序可以应用于计算关于-轴的力矩，使用和，如下所示：

(12)

以及关于-轴的力矩，使用和，如下所示：

(13)

其中几何质心由和给出。

最后，可以使用和计算面积惯性矩，如下所示：

(14)

使用和，如下所示：

(15)

以及使用和，如下所示：

(16)