魔鬼阶梯

映射卷绕数 的图，，由 锁模 产生，作为 的函数，对于 圆映射

(1)

，其中 。(由于 圆映射 变为 锁模，映射卷绕数 与初始起始参数 无关。) 在每个 值处，映射卷绕数 是一些 有理数。结果是一个单调递增的“阶梯”，其中最简单的 有理数 具有最大的步长。魔鬼阶梯连续地将区间 映射到 上，但在几乎所有地方都是常数（即，除了在 康托集 上）。

对于 ， 轴上准周期状态（ 无理数）的测度 已变为零，锁模 状态的测度已变为 1。魔鬼阶梯的 维数 。

另一种魔鬼阶梯出现在总和中

(2)

对于 ，其中 是 向下取整函数 (Böhmer 1926ab; Kuipers and Niederreiter 1974, p. 10; Danilov 1974; Adams 1977; Davison 1977; Bowman 1988; Borwein and Borwein 1993; Bowman 1995; Bailey and Crandall 2001; Bailey and Crandall 2003)。此函数是单调递增的，并且在每个无理数 处连续，但在每个有理数 处不连续。 是无理数 当且仅当 是无理数，并且如果 是无理数，则 是超越数。如果 是有理数，则

(3)

而如果 是无理数，

(4)

更令人惊讶的是，对于无理数 ，其 简单连分数 为 ，收敛子 为 ，

(5)

其中

(6)

(Bailey 和 Crandall 2001)。这给出了与 兔子常数 的美妙关系

(7)

其中 是 黄金比例， 是 斐波那契数。