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闵可夫斯基问号函数

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MinkowskiQuestionMark

闵可夫斯基问号函数是由闵可夫斯基定义的函数 y=?(x)，其目的是将 二次不尽根 中的 开区间 (0,1) 映射到 (0,1) 的有理数，以连续且保序的方式。?(x) 取一个具有 连分数 x=[0;a_1,a_2,a_3,...] 的数，映射到数字

?(x)=sum_(k)((-1)^(k-1))/(2^((a_1+...+a_k)-1)).
(1)

它在 Wolfram Language 中实现为MinkowskiQuestionMark[x]。

该函数满足以下性质 (Salem 1943)。

1. ?(x) 是严格递增的。

2. 如果 x 是有理数，则 ?(x) 的形式为 k/2^s，其中 k 和 s 是整数。

3. 如果 x 是 二次不尽根，则连分数是周期性的，因此 ?(x) 是有理数。

4. 该函数是纯奇异的 (Denjoy 1938)。

?(x) 也可以构造为

?((p+p^')/(q+q^'))=(?(p/q)+?(p^'/q^'))/2,
(2)

其中 p/q 和 p^'/q^' 是来自 法雷数列 的两个连续不可约分数。在此定义的第 n 阶段，?(x) 为 2^n+1 个 x 值定义，并且对应于这些值的纵坐标是 x=k/2^n，其中 k=0, 1, ..., 2^n (Salem 1943)。

该函数满足以下恒等式

?(1/(k^n))=1/(2^(k^n-1)).
(3)

一些特殊值包括

?(0)=0
(4)
?(1/3)=1/4
(5)
?(1/2)=1/2
(6)
?(phi-1)=2/3
(7)
?(2/3)=3/4
(8)
?(1/2sqrt(2))=4/5
(9)
?(1/2sqrt(3))=(84)/(85)
(10)
?(1)=1,
(11)

其中 phi 是 黄金比例。

存在 ?(x) 的四个 不动点 (mod 1)，即 x=0, 1/2, f 和 1-f，其中 f<1/2 是 闵可夫斯基-鲍尔常数 (Finch 2003, pp. 441-443) f=0.42037... (OEIS A048819)。

连分数中具有较大项的 x 值会导致 ?(x) 具有大段重复的 0 或 9 (E. Pegg, Jr., 私人通讯, 1 月 5 日, 2023)。一些例子包括

?(6^(1/3))=1.9530189847656249...9_()_(142)6...
(12)
?(20^(1/3))=2.81250...0_()_(43)2...
(13)
?(pi)=3.1562476158142089843749...9_()_(72)8....
(14)

另请参阅

魔鬼阶梯, 法雷数列, 闵可夫斯基-鲍尔常数

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 237-238, 2007.Conway, J. H. "Contorted Fractions." On Numbers and Games, 2nd ed. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 82-86 (1st ed.), 2000.Denjoy, A. "Sur une fonction réelle de Minkowski." J. Math. Pures Appl. 17, 105-155, 1938.Finch, S. R. "Minkowski-Bower Constant." §6.9 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 441-443, 2003.Girgensohn, R. "Constructing Singular Functions via Farey Fractions." J. Math. Anal. Appl. 203, 127-141, 1996.Kinney, J. R. "Note on a Singular Function of Minkowski." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 788-794, 1960.Minkowski, H. "Zur Geometrie der Zahlen." in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 2. New York: Chelsea, pp. 44-52, 1991.Salem, R. "On Some Singular Monotone Functions which Are Strictly Increasing." Trans. Amer. Math. Soc. 53, 427-439, 1943.Sloane, N. J. A. Sequence A048819 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Tichy, R. 和 Uitz, J. "An Extension of Minkowski's Singular Functions." Appl. Math. Lett. 8, 39-46, 1995.Viader, P.; Paradis, J.; 和 Bibiloni, L. "A New Light on Minkowski's ?(x) Function." J. Number Th. 73, 212-227, 1998.Yakubovich, S. "The Affirmative Solution to Salem's Problem Revisited." 2014 年 12 月 31 日。 http://arxiv.org/abs/1501.00141.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

闵可夫斯基问号函数

请引用为

Weisstein, Eric W. “闵可夫斯基问号函数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MinkowskisQuestionMarkFunction.html

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