圆映射

圆映射是一个将圆映射到自身的一维映射

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其中 是以模 1 计算的， 是一个常数。请注意，圆映射有两个参数： 和 。 可以解释为外部施加的频率，而 可以解释为非线性的强度。如上所示，圆映射表现出非常出乎意料的参数函数行为。

它与标准映射相关

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对于 和 以模 1 计算。将 写成

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得到圆映射，其中 和 。

圆映射的一维雅可比矩阵是

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因此圆映射不是保面积的。

未扰动的圆映射具有以下形式

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如果 是有理数，那么它被称为映射映射卷绕数，定义为

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并暗示周期性轨迹，因为 将（最多）每 映射轨道 返回到同一点。如果 是无理数，那么运动是准周期性的。如果 是非零，那么在每个有理数 周围的某个有限区域内，运动可能是周期性的。这种响应于无理数强迫的周期性运动执行被称为模式锁定。

如果绘制 与 的关系图，并在 有理数 值（映射卷绕数）周围绘制周期性模式锁定参数空间区域，则会看到这些区域从 处的 0 向上扩展到 处的某个有限宽度。围绕每个有理数的区域被称为阿诺德舌。在 时，阿诺德舌是一个孤立的测度为零的集合。在 时，它们形成一个康托集，其维数为 。对于 ，舌头重叠，圆映射变得不可逆。

令 是具有映射卷绕数 的循环的圆映射的参数值，该循环以角度 通过，其中 是一个斐波那契数。那么参数值 以以下速率累积

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（Feigenbaumet al. 1982）。