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勒让德倍乘公式

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伽玛函数 的自变量 2z 可以用较小自变量的 伽玛函数 表示。从 贝塔函数 的定义，

B(m,n)=(Gamma(m)Gamma(n))/(Gamma(m+n))=int_0^1u^(m-1)(1-u)^(n-1)du.
(1)

现在，令 m=n=z，则

(Gamma(z)Gamma(z))/(Gamma(2z))=int_0^1u^(z-1)(1-u)^(z-1)du
(2)

并且 u=(1+x)/2，所以 du=dx/2 并且

(Gamma(z)Gamma(z))/(Gamma(2z))=int_(-1)^1((1+x)/2)^(z-1)(1-(1+x)/2)^(z-1)(1/2dx)
(3)
=1/2int_(-1)^1((1+x)/2)^(z-1)((1-x)/2)^(z-1)dx
(4)
=1/(2^(1+2(z-1)))int_(-1)^1(1-x^2)^(z-1)dx
(5)
=2^(1-2z)[2int_0^1(1-x^2)^(z-1)dx].
(6)

现在，使用 贝塔函数 恒等式

B(m,n)=2int_0^1x^(2m-1)(1-x^2)^(n-1)dx
(7)

将上述式子写作

(Gamma(z)Gamma(z))/(Gamma(2z))=2^(1-2z)B(1/2,z)=2^(1-2z)(Gamma(1/2)Gamma(z))/(Gamma(z+1/2)).
(8)

求解 Gamma(2z) 并使用 Gamma(1/2)=sqrt(pi)，则得到

Gamma(2z)=(2pi)^(-1/2)2^(2z-1/2)Gamma(z)Gamma(z+1/2)
(9)
=(2^(2z-1)Gamma(z)Gamma(z+1/2))/(sqrt(pi)).
(10)

另请参阅

伽玛函数, 高斯乘法公式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版. New York: Dover, p. 256, 1972.Arfken, G. 物理学家的数学方法，第 3 版. Orlando, FL: Academic Press, pp. 561-562, 1985.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. 高等超越函数，第 1 卷. New York: Krieger, p. 5, 1981.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理学方法，第一部分. New York: McGraw-Hill, pp. 424-425, 1953.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

勒让德倍乘公式

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "勒让德倍乘公式." 来自 MathWorld—— Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/LegendreDuplicationFormula.html

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