主题
Search

中心 Beta 函数

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本
CentralBetaFunction
CentralBetaFunctionReImAbs
最小值 最大值
实部
虚部 Powered by webMathematica

中心 beta 函数定义为

beta(p)=B(p,p),
(1)

其中 B(p,q) 是 beta 函数。它满足以下恒等式

beta(p)=2^(1-2p)B(p,1/2)
(2)
=2^(1-2p)cos(pip)B(1/2-p,p)
(3)
=int_0^1(t^pdt)/((1+t)^(2p))
(4)
=2/pproduct_(n=1)^(infty)(n(n+2p))/((n+p)(n+p)).
(5)

当 p=1/2 时，后者给出 Wallis 公式。对于 p=1, 2, ...，前几个值是 1, 1/6, 1/30, 1/140, 1/630, 1/2772, ... (OEIS A002457)，它们的denominator是 (n-1)!^2/(2n-1)!。

当 p=a/b 时，

bbeta(a/b)=2^(1-2a/b)J(a,b),
(6)

其中

J(a,b)=int_0^1(t^(alpha-1)dt)/(sqrt(1-t^b)).
(7)

中心 beta 函数满足

(2+4x)beta(1+x)=xbeta(x)
(8)
(1-2x)beta(1-x)beta(x)=2picot(pix)
(9)
beta(1/2-x)=2^(4x-1)tan(pix)beta(x)
(10)
beta(x)beta(x+1/2)=2^(4x+1)pibeta(2x)beta(2x+1/2).
(11)

对于 p 为奇 正整数，中心 beta 函数满足恒等式

beta(px)=1/(sqrt(p))product_(k=1)^((p-1)/2)(2x+(2k-1)/p)/(2pi)product_(k=0)^(p-1)beta(x+k/p).
(12)

另请参阅

Beta 函数, 正则 Beta 函数

使用 探索

参考文献

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Elliptic Integral Evaluation of the Gamma Function at Rational Values of Small Denominators." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.Sloane, N. J. A. Sequence A002457/M4198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

中心 Beta 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "中心 Beta 函数。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CentralBetaFunction.html

主题分类