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中心 Beta 函数

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CentralBetaFunction
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中心 beta 函数定义为

beta(p)=B(p,p),
(1)

其中 B(p,q) 是 beta 函数。它满足以下恒等式

beta(p)=2^(1-2p)B(p,1/2)
(2)
=2^(1-2p)cos(pip)B(1/2-p,p)
(3)
=int_0^1(t^pdt)/((1+t)^(2p))
(4)
=2/pproduct_(n=1)^(infty)(n(n+2p))/((n+p)(n+p)).
(5)

当 p=1/2 时，后者给出 Wallis 公式。对于 p=1, 2, ...，前几个值是 1, 1/6, 1/30, 1/140, 1/630, 1/2772, ... (OEIS A002457)，它们的denominator是 (n-1)!^2/(2n-1)!。

当 p=a/b 时，

bbeta(a/b)=2^(1-2a/b)J(a,b),
(6)

其中

J(a,b)=int_0^1(t^(alpha-1)dt)/(sqrt(1-t^b)).
(7)

中心 beta 函数满足

(2+4x)beta(1+x)=xbeta(x)
(8)
(1-2x)beta(1-x)beta(x)=2picot(pix)
(9)
beta(1/2-x)=2^(4x-1)tan(pix)beta(x)
(10)
beta(x)beta(x+1/2)=2^(4x+1)pibeta(2x)beta(2x+1/2).
(11)

对于 p 为奇 正整数，中心 beta 函数满足恒等式

beta(px)=1/(sqrt(p))product_(k=1)^((p-1)/2)(2x+(2k-1)/p)/(2pi)product_(k=0)^(p-1)beta(x+k/p).
(12)

另请参阅

Beta 函数, 正则 Beta 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Elliptic Integral Evaluation of the Gamma Function at Rational Values of Small Denominators." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.Sloane, N. J. A. Sequence A002457/M4198 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

中心 Beta 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "中心 Beta 函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CentralBetaFunction.html

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