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狄利克雷积分

有几种类型的积分被称为“狄利克雷积分”。 积分

D[u]=int_Omega|del u|^2dV
(1)

出现在 狄利克雷原理 中。

积分

1/(2pi)int_(-pi)^pif(x)(sin[(n+1/2)x])/(sin(1/2x))dx,
(2)

其中核是 狄利克雷核，给出 n 阶部分和的 傅里叶级数。

另一个积分表示为

delta_k=1/piint_(-infty)^infty(sinalpha_krho_k)/(rho_k)e^(irho_kgamma_k)drho_k={0 for |gamma_k|>alpha_k; 1 for |gamma_k|<alpha_k
(3)

对于 k=1, ..., n。

有两种类型的狄利克雷积分用字母 C, D, I, 和 J 表示。 第一类狄利克雷积分表示为 I, J, 和 IJ，第二类狄利克雷积分表示为 C, D, 和 CD。

第一类积分由下式给出

I=intint...intf(t_1+t_2+...+t_n)t_1^(alpha_1-1)t_2^(alpha_2-1)...t_n^(alpha_n-1)dt_1dt_2...dt_n
(4)
=(Gamma(alpha_1)Gamma(alpha_2)...Gamma(alpha_n))/(Gamma(sum_(n)alpha_n))int_0^1f(tau)tau^((sum_(n)alpha)-1)dtau,
(5)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数。 在 n=2 的情况下，

I=intint_(T)x^py^qdxdy=(p!q!)/((p+q+2)!)=(B(p+1,q+1))/(p+q+2),
(6)

其中积分是在由 x 轴、y 轴和直线 x+y=1 边界的 三角形 T 上进行，并且 B(x,y) 是 贝塔函数。

第二类积分对于 b-D 向量 a 和 r，以及 0<=c<=b 给出，

C_(a)^((b))(r,m)=(Gamma(m+R))/(Gamma(m)product_(i=1)^(b)Gamma(r_i))int_0^(a_1)...int_0^(a_b)(product_(i=1)^(b)x_i^(r_i-1)dx_i)/((1+sum_(i=1)^(b)x_i)^(m+R))
(7)
D_(a)^((b))(r,m)=(Gamma(m+R))/(Gamma(m)product_(i=1)^(b)Gamma(r_i))int_(a_1)^infty...int_(a_k)^infty(product_(i=1)^(b)x_i^(r_i-1)dx_i)/((1+sum_(i=1)^(b)x_i)^(m+R))
(8)
CD_(a)^((c,d-c))(r,m)=(Gamma(m+R))/(Gamma(m)product_(i=1)^(b)Gamma(r_i))int_0^(a_c)int_(a_(c+1))^inftyint_(a_b)^infty(product_(i=1)^(b)x_i^(r_i-1)dx_i)/((1+sum_(i=1)^(b)x_i)^(m+R)),
(9)

其中

R=sum_(i=1)^(k)r_i
(10)
a_i=(p_i)/(1-sum_(i=1)^(k)p_i),
(11)

并且 p_i 是单元概率。 对于相等的概率，a_i=1。 狄利克雷 D 积分可以展开为 多项级数，如下所示

D_(a)^((b))(r,m)=1/((1+sum_(i=1)^(b))^m)sum_(x_1<r_1)...sum_(x_b<r_b)(m-1+sum_(a=1)^(b)x_i; m-1,x_1,...,x_b) product_(i=1)b((a_i)/(1+sum_(k=1)^(b)a_k))^(x_i).
(12)

对于小的 b，C 和 D 可以针对一般参数和 a_i=1 进行部分或完全解析地表达。

C_1^((1))(r_2;r_1)=(Gamma(r_1+r_2)_2F_1(r_2,r_1+r_2;1+r_2;-1))/(r_2Gamma(r_1)Gamma(r_2))
(13)
C_1^((2))(r_2,r_3;r_1)=(Gamma(r_1+r_2+r_3))/(r_2Gamma(r_1)Gamma(r_2)Gamma(r_3))int_0^1_2F_1y^(r_3-1)(1+y)^(-(r_1+r_2+r_3))dy,
(14)

其中

_2F_1=_2F_1(r_2,r_1+r_2+r_3;1+r_2,-(1+y)^(-1))
(15)

是 超几何函数。

D_1^((1))(r_2;r_1)=(Gamma(r_1+r_2)_2F_1(r_1,r_1+r_2;1+r_1;-1))/(r_1Gamma(r_1)Gamma(r_2))
(16)
D_1^((2))(r_2,r_3;r_1)=(Gamma(r_1+r_2+r_3))/((r_1+r_3)Gamma(r_1)Gamma(r_2)Gamma(r_3))int_1^infty_2F_1y^(r_3-1)dy,
(17)

其中

_2F_1=_2F_1(r_1+r_3,r_1+r_2+r_3;1+r_1+r_3;-1-y).
(18)

在 Wolfram|Alpha 中探索

参考文献

Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "狄利克雷积分。" §15.08 in 数学物理方法，第 3 版。 英国剑桥：剑桥大学出版社，pp. 468-470, 1988.Sobel, M.; Uppuluri, R. R.; 和 Frankowski, K. 数学统计选表，第 4 卷：狄利克雷分布 - 第 1 类。 普罗维登斯，罗德岛州：美国数学学会，1977.Sobel, M.; Uppuluri, R. R.; 和 Frankowski, K. 数学统计选表，第 9 卷：第 2 类狄利克雷积分及其应用。 普罗维登斯，罗德岛州：美国数学学会，1985.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

狄利克雷积分

请引用为

Weisstein, Eric W. "狄利克雷积分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DirichletIntegrals.html

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