“15 拼图”是一种滑动方块谜题，通常（但不正确地）归因于萨姆·劳埃德。然而，Slocum 和 Sonneveld (2006) 的研究表明，萨姆·劳埃德并没有发明 15 拼图，也与推广或普及它无关。由 15 拼图引起的谜题热潮始于 1880 年 1 月在美国，4 月在欧洲，并于 1880 年 7 月结束。劳埃德在 1891 年首次声称他发明了这个谜题，并在他去世前持续了 20 年的运动，以虚假地为这个谜题邀功。实际的发明者是纽约州卡纳斯托塔的邮政局长诺伊斯·查普曼，他于 1880 年 3 月申请了专利。
15 拼图由 15 个编号从 1 到 15 的方块组成，这些方块放置在一个 
盒子中，留下 16 个位置中的一个空位。目标是通过一次滑动一个方块到上面显示的配置，从给定的任意起始排列重新定位这些方块。对于某些初始排列，这种重新排列是可能的，但对于另一些则不可能。
为了解决给定初始排列的可解性，请按如下步骤操作。如果包含数字 
的方块在（从左到右、从上到下读取盒子中的方块）小于 
的数字“之前”出现，则称其为阶为 
的倒置，并将其表示为 
。然后定义
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其中，总和只需要从 2 运行到 15，而不是从 1 运行到 15，因为没有小于 1 的数字（因此 
必须等于 0）。更简单地说， 
是数字列表中的排列倒置数。另定义 
为空方块的行号。
那么，如果 
为偶数，则该位置是可能的，否则是不可能的。换句话说，如果列表的排列符号 
为 
，则该位置是可能的，而如果符号为 
，则是不可能的。这可以使用交错群来正式证明。例如，在上面显示的排列中， 
（2 在 1 之前）并且所有其他 
，因此 
并且这个谜题无法解决。
类似地，在上面方块的随机排列中，倒置计数分别为 12、9、9、5、4、4、3、3、0、3、3、2、1、1 和 0，倒置总和为 59。由于这个数字是奇数，因此上面谜题的排列无法解决。
虽然谜题的奇数排列无法解决（Johnson 1879），但所有偶数排列都是可解的（Story 1879）。尽管赫斯坦和卡普兰斯基 (1978) 断言“似乎没有真正简单的证明是已知的”，但阿切尔 (1999) 提出了一个简单的证明。威尔逊 (1974) 的一个更一般的结果表明，对于任何 连通图 上的 
节点，除了环图 
和 theta0 图之外，通过滑动标签可以获得正好一半或全部 
可能的标签，这取决于图是否是二分图（Archer 1999）。 
有六个不等价的标签，而 
有 
个不等价的标签。
可以证明，在 
棋盘上制作的“8 拼图”的反转顺序至少需要 26 步，尽管最佳解决方案需要 30 步（Gardner 1984，第 200 页和 206-207 页）。28、30、32、... 步中不同解的数量分别为 0、10、112、512、... (OEIS A046164)，给出了 634 个比 Dudeney (1949) 给出的 36 步解决方案更好的解。
对于 
, 2, ...，解决 15 拼图的 
推广所需的最大步数分别为 0、6、31、80、... (OEIS A087725; Brüngger 等人 1999)。
-15 拼图扩展的最短解是难解的。" J. Symbolic Comp 10, 111-137, 1990.Sloane, N. J. A. 序列