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Airy Zeta 函数

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AiryZeta

定义 Airy zeta 函数，对于 n=2, 3, ... 由

Z(n)=sum_(r)1/(r^n),
(1)

其中求和是对 Airy 函数 Ai(z) 的实（负）零点 r 进行的。

Z(n)=(piT_(n-1)(0))/(Gamma(n)),
(2)

这具有闭合形式的表示

T_n(z)=C^((n))(z)A+(d^(n-1))/(dz^(n-1))[Ai(z)Bi(z)] -sum_(j=1)^n(n; j)C^((n-j))(z)(d^(j-1))/(dz^(j-1))[Ai(z)]^2,
(3)

其中 Gamma(z) 是 gamma 函数，

A=int_0^infty[Ai(z)]^2dz
(4)
=1/(3^(2/3)[Gamma(1/3)]^2)
(5)

其中

C(z)=(Bi(z))/(Ai(z))
(6)

和

(Crandall 1996; Borweinet al.2004, p. 61)。

X=1/(2piAi(0)Bi(0))
(7)
=(3^(5/6))/(2pi)[Gamma(2/3)]^2
(8)
=(2pi)/(3^(1/6)[Gamma(1/3)]^2)
(9)

令人惊讶的是，定义

Z(2)=X^2
(10)
Z(3)=1/2(2X^3-1)
(11)
Z(4)=1/3(3X^4-X)
(12)
Z(5)=1/(12)(12X^5-5X^2)
(13)
Z(6)=1/(20)(20X^6-10X^3+1)
(14)

得到 Z(n) 作为 X 的多项式 (Borweinet al.2004, pp. 61-62)。 前几个这样的多项式是

(OEIS A096631 和 A096632)。 相应的数值近似为 0.531457, -0.112562, 0.0394431, -0.0155337, 和 0.00638927, ....

另请参阅

Airy 函数, Zeta 函数

WolframAlpha

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三次拟合计算器

参考文献

Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 页 61-62, 2004。Crandall, R. E. "On the Quantum Zeta Function." J. Phys. A: Math. General 29, 6795-6816, 1996。Sloane, N. J. A. Sequences A096631 和 A096632 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Airy Zeta 函数

在 Wolfram|Alpha 中引用

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Airy Zeta 函数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AiryZetaFunction.html