仿射簇 -- 来自 Wolfram MathWorld

仿射簇是包含在仿射空间中的代数簇。例如，

${(x,y,z):x^2+y^2-z^2=0}$

(1)

是锥，以及

${(x,y,z):x^2+y^2-z^2=0,ax+by+cz=0}$

(2)

是圆锥曲线，它是锥的子簇。锥可以写成以表示它是对应于的簇。自然地，许多其他多项式在上消失，事实上是 $I(C)={x^2+y^2-z^2}$ 中的所有多项式。集合是多项式环中的一个理想。另请注意，在圆锥曲线上消失的多项式的理想是由和生成的理想。

两个仿射簇之间的态射由多项式坐标函数给出。例如，映射是从到的态射。如果存在具有逆态射的态射，则两个仿射簇是同构的。例如，仿射簇通过坐标变换与锥同构。

许多多项式可以分解，例如，然后。因此，只有不可约多项式，更一般地只有素理想被用于簇的定义。仿射簇是多项式集合 , ..., 的公共零点集，即，

$V={x=(x_1,...,x_n):p_1(x)=...=p_k(x)=0}$

(3)

只要理想是一个素理想。更经典地，仿射簇由任何多项式集合定义，即现在所谓的代数集。中的大多数点将具有维度，但可能有奇点，如锥中的原点。

当在一般情况下（几乎在所有点上）是一维的，这通常发生在时，那么被称为曲线。当是二维的时，它被称为曲面。在 CW-复仿射空间的情况下，曲线是黎曼曲面，可能带有一些奇点。

Wolfram 语言函数ContourPlot将绘制实仿射平面中的仿射簇。例如，以下图形绘制了一个双曲线和一个圆。

GraphicsGrid[{{
 ContourPlot[x^2 - y^2 == 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}],
 ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
}}]

仿射簇