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波动方程——一维

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一维波动方程由下式给出

(partial^2psi)/(partialx^2)=1/(v^2)(partial^2psi)/(partialt^2).
(1)

为了指定一个波，该方程受制于边界条件

psi(0,t)=0
(2)
psi(L,t)=0,
(3)

和初始条件

psi(x,0)=f(x)
(4)
(partialpsi)/(partialt)(x,0)=g(x).
(5)

一维波动方程可以通过达朗贝尔解法、使用傅里叶变换方法或通过分离变量法精确求解。

达朗贝尔在 1746 年设计了他的解法，欧拉随后在 1748 年扩展了该方法。令

xi=x-vt
(6)
eta=x+vt.
(7)

根据链式法则，

(partial^2psi)/(partialx^2)=(partial^2psi)/(partialxi^2)+2(partial^2psi)/(partialxipartialeta)+(partial^2psi)/(partialeta^2)
(8)
1/(v^2)(partial^2psi)/(partialt^2)=(partial^2psi)/(partialxi^2)-2(partial^2psi)/(partialxipartialeta)+(partial^2psi)/(partialeta^2).
(9)

则波动方程变为

(partial^2psi)/(partialxipartialeta)=0.
(10)

该方程的任何解都具有以下形式

psi(xi,eta)=f(eta)+g(xi)=f(x+vt)+g(x-vt),
(11)

其中 f 和 g 是任意函数。它们表示两个沿相反方向传播的波形，f 沿负x方向传播，g 沿正x方向传播。

一维波动方程也可以通过对每一侧应用傅里叶变换来求解，

int_(-infty)^infty(partial^2psi(x,t))/(partialx^2)e^(-2piikx)dx=1/(v^2)int_(-infty)^infty(partial^2psi(x,t))/(partialt^2)e^(-2piikx)dk,
(12)

它由傅里叶变换导数恒等式给出，如下所示

(2piik)^2Psi(k,t)=1/(v^2)(partial^2Psi(k,t))/(partialt^2),
(13)

其中

Psi(k,t)=F_x[psi(x,t)](k)
(14)
=int_(-infty)^inftypsi(x,t)e^(-2piikx)dx.
(15)

这有解

Psi(k,t)=A(k)e^(2piikvt)+B(k)e^(-2piikvt).
(16)

取逆傅里叶变换得到

psi(x,t)=int_(-infty)^inftyPsi(k,t)e^(2piikx)dk
(17)
=int_(-infty)^infty[A(k)e^(2piikvt)+B(k)e^(-2piikvt)]e^(-2piikx)dk
(18)
=int_(-infty)^inftyA(k)e^(-2piik(x-vt))dk+int_(-infty)^inftyB(k)e^(-2piik(x+vt))dk
(19)
=f_1(x-vt)+f_2(x+vt),
(20)

其中

f_1(u)=F_k[A(k)](u)=int_(-infty)^inftyA(k)e^(-2piiku)dk
(21)
f_2(u)=F_k[B(k)](u)=int_(-infty)^inftyB(k)e^(-2piiku)dk.
(22)

此解仍然受所有其他初始条件和边界条件的约束。

一维波动方程可以通过使用试解分离变量法来求解

psi(x,t)=X(x)T(t).
(23)

这给出

T(d^2X)/(dx^2)=1/(v^2)X(d^2T)/(dt^2)
(24)
1/X(d^2X)/(dx^2)=1/(v^2)1/T(d^2T)/(dt^2)=-k^2.
(25)

因此，X 的解是

X(x)=Ccos(kx)+Dsin(kx).
(26)

重写 (25) 得到

1/T(d^2T)/(dt^2)=-v^2k^2=-omega^2,
(27)

因此，T 的解是

T(t)=Ecos(omegat)+Fsin(omegat),
(28)

其中 v=omega/k。将边界条件 psi(0,t)=psi(L,t)=0 应用于 (◇) 得到

C=0 kL=mpi,
(29)

其中 m 是一个整数。将 (◇)、(◇) 和 (29) 代回 (◇) 中的 psi 得到，对于 m 的特定值，

psi_m(x,t)=[E_msin(omega_mt)+F_mcos(omega_mt)]D_msin((mpix)/L)
(30)
=[A_mcos(omega_mt)+B_msin(omega_mt)]sin((mpix)/L).
(31)

初始条件 psi^.(x,0)=0 然后给出 B_m=0，因此 (31) 变为

psi_m(x,t)=A_mcos(omega_mt)sin((mpix)/L).
(32)

通解是所有可能的 m 值的总和，因此

psi(x,t)=sum_(m=1)^inftyA_mcos(omega_mt)sin((mpix)/L).
(33)

再次使用正弦函数的正交性，

int_0^Lsin((lpix)/L)sin((mpix)/L)dx=1/2Ldelta_(lm),
(34)

其中 delta_(lm) 是由下式定义的克罗内克 delta

delta_(mn)={1 m=n; 0 m!=n,
(35)

给出

int_0^Lpsi(x,0)sin((mpix)/L)dx=sum_(l=1)^(infty)A_lsin((lpix)/L)sin((mpix)/L)dx
(36)
=sum_(l=1)^(infty)A_l1/2Ldelta_(lm)
(37)
=1/2LA_m,
(38)

所以我们有

A_m=2/Lint_0^Lpsi(x,0)sin((mpix)/L)dx.
(39)

对于特定的初始变形，A_ms 的计算在傅里叶正弦级数部分导出。我们已经发现 B_m=0，因此弦的运动方程 (◇) 为，

omega_m=vk_m=(vmpi)/L,
(40)

是

psi(x,t)=sum_(m=1)^inftyA_mcos((vmpit)/L)sin((mpix)/L),
(41)

其中 A_m 系数 由 (◇) 给出。

一个阻尼一维波

(partial^2psi)/(partialx^2)=1/(v^2)(partial^2psi)/(partialt^2)+b(partialpsi)/(partialt),
(42)

给定边界条件

psi(0,t)=0
(43)
psi(L,t)=0,
(44)

初始条件

psi(x,0)=f(x)
(45)
(partialpsi)/(partialt)(x,0)=g(x),
(46)

和附加约束

0<b<(2pi)/(Lv),
(47)

也可以作为傅里叶级数求解。

psi(x,t)=sum_(n=1)^inftysin((npix)/L)e^(-v^2bt/2)[a_nsin(mu_nt)+b_ncos(mu_nt)],
(48)

其中

mu_n=(sqrt(4v^2n^2pi^2-b^2L^2v^4))/(2L)=(vsqrt(4n^2pi^2-b^2L^2v^2))/(2L)
(49)
b_n=2/Lint_0^Lsin((npix)/L)f(x)dx
(50)
a_n=2/(Lmu_n){int_0^Lsin((npix)/L)[g(x)+(v^2b)/2f(x)]dx}.
(51)

另请参阅

达朗贝尔算符, 达朗贝尔解法, Korteweg-de Vries 方程, 拉普拉斯算符, 电报方程, 波动方程, 波动方程——圆盘, 波动方程——矩形, 波动方程——三角形

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "抛物线和扁球坐标系中的波动方程。" §21.5 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 752-753, 1972.Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 124-125 和 271, 1953.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 标准数学表格和公式手册。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 417, 1995.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 130, 1997.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "波动方程——一维。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WaveEquation1-Dimensional.html

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