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达朗贝尔解

达朗贝尔方法提供了一维波动方程的解

(partial^2y)/(partialx^2)=1/(c^2)(partial^2y)/(partialt^2)
(1)

该方程模拟了弦的振动。

一般解可以通过引入新变量 xi=x-ct 和 eta=x+ct，并应用链式法则得到

partial/(partialx)=(partialxi)/(partialx)partial/(partialxi)+(partialeta)/(partialx)partial/(partialeta)
(2)
=partial/(partialxi)+partial/(partialeta)
(3)
partial/(partialt)=(partialxi)/(partialt)partial/(partialxi)+(partialeta)/(partialt)partial/(partialeta)
(4)
=-cpartial/(partialxi)+cpartial/(partialeta).
(5)

使用 (4) 和 (5) 计算 (3) 的左侧和右侧，然后得到

(partial^2y)/(partialx^2)=(partial/(partialxi)+partial/(partialeta))((partialy)/(partialxi)+(partialy)/(partialeta))
(6)
=(partial^2y)/(partialxi^2)+2(partial^2y)/(partialxipartialeta)+(partial^2y)/(partialeta^2)
(7)
(partial^2y)/(partialt^2)=(-cpartial/(partialxi)+cpartial/(partialeta))(-c(partialy)/(partialxi)+c(partialy)/(partialeta))
(8)
=c^2(partial^2y)/(partialxi^2)-2c^2(partial^2y)/(partialxipartialeta)+c^2(partial^2y)/(partialeta^2),
(9)

分别地，代入并展开后得到

(partial^2y)/(partialxipartialeta)=0.
(10)

这个偏微分方程的一般解为

y(x,t)=f(xi)+g(eta)
(11)
=f(x-ct)+g(x+ct),
(12)

其中 f 和 g 是任意函数，其中 f 表示右行波，g 表示左行波。

对于位于位置 y(x,t=0)=y_0(x) 的弦的初值问题，作为沿弦的距离 x 和垂直速度 partialy/partialt|_(t=0)=v_0(x) 的函数，可以如下找到。从初始条件和 (12) 开始，

y_0(x)=f(x)+g(x).
(13)

对 t 求导，然后得到

v_0(x)=f^'(x)(partial(x-ct))/(partialt)+g^'(x)(partial(x+ct))/(partialt)
(14)
=-cf^'(x)+cg^'(x),
(15)

积分得到

int_a^xv_0(s)ds=-cf(x)+cg(x).
(16)

同时求解 (13) 和 (16) 得到 f 和 g，立即得到

f(x)=1/2y_0(x)-1/(2c)int_a^xv_0(s)ds
(17)
g(x)=1/2y_0(x)+1/(2c)int_a^xv_0(s)ds,
(18)

因此将这些代入 (13) 中，即可得到具有指定初始条件的波动方程的解，如下所示

y(x,t)=1/2y_0(x-ct)+1/2y_0(x+ct)+1/(2c)int_(x-ct)^(x+ct)v_0(s)ds.
(19)

参见

波动方程

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Bekefi, G. and Barrett, A. H. Electromagnetic Vibrations, Waves, and Radiation. Cambridge, MA: MIT Press, pp. 161-163, 1987.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "d'Alembert's Solution." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/dAlembertsSolution.html

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