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波动方程——矩形

要找到边长为 L_x 和 L_y 的矩形膜的运动（在没有重力的情况下），使用二维波动方程

(partial^2z)/(partialx^2)+(partial^2z)/(partialy^2)=1/(v^2)(partial^2z)/(partialt^2),
(1)

其中 z(x,y,t) 是膜上位置 (x,y) 和时间 t 的点的垂直位移。使用分离变量法寻找以下形式的解

z(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t).
(2)

将 (2) 代入 (1) 得到

YT(d^2X)/(dx^2)+XT(d^2Y)/(dy^2)=1/(v^2)XY(d^2T)/(dt^2),
(3)

其中偏导数现在变成了全导数。将 (3) 乘以 v^2/XYT 得到

(v^2)/X(d^2X)/(dx^2)+(v^2)/Y(d^2Y)/(dy^2)=1/T(d^2T)/(dt^2).
(4)

左边和右边都必须等于一个常数，所以我们可以通过将右边写成以下形式来分离方程

1/T(d^2T)/(dt^2)=-omega^2.
(5)

这有解

T(t)=C_omegacos(omegat)+D_omegasin(omegat).
(6)

将 (5) 代回 (◇)，

(v^2)/X(d^2X)/(dx^2)+(v^2)/Y(d^2Y)/(dy^2)=-omega^2,
(7)

我们可以将其重写为

1/X(d^2X)/(dx^2)=-1/Y(d^2Y)/(dy^2)-(omega^2)/(v^2)=-k_x^2
(8)

因为左边和右边再次都必须等于一个常数。我们现在可以分离出 Y(y) 方程

1/Y(d^2Y)/(dy^2)=k_x^2-(omega^2)/(v^2)=-k_y^2,
(9)

其中我们定义了一个新常数 k_y 满足

k_x^2+k_y^2=(omega^2)/(v^2).
(10)

方程 (◇) 和 (◇) 有解

X(x)=Ecos(k_xx)+Fsin(k_xx)
(11)
Y(y)=Gcos(k_yy)+Hsin(k_yy).
(12)

我们现在将边界条件应用于 (11) 和 (12)。条件 z(0,y,t)=0 和 z(x,0,t)=0 意味着

E=0 G=0.
(13)

类似地，条件 z(L_x,y,t)=0 和 z(x,L_y,t)=0 给出 sin(k_xL_x)=0 和 sin(k_yL_y)=0，所以 L_xk_x=ppi 和 L_yk_y=qpi，其中 p 和 q 是整数。求解 k_x 和 k_y 的允许值，得到

k_x=(ppi)/(L_x) k_y=(qpi)/(L_y).
(14)

将 (◇)、(◇)、(◇)、(◇) 和 (14) 代回 (◇) 得到 p 和 q 特定值的解，

z_(pq)(x,y,t)=[C_omegacos(omegat)+D_omegasin(omegat)][F_psin((ppix)/(L_x))][H_qsin((qpiy)/(L_y))].
(15)

通过写 A_(pq)=C_omegaF_pH_q 将常数合并在一起（我们可以这样做，因为 omega 是 p 和 q 的函数，所以 C_omega 可以写成 C_(pq)) 和 B_(pq)=D_omegaF_pH_q，我们得到

z_(pq)(x,y,t)=[A_(pq)cos(omega_(pq)t)+B_(pq)sin(omega_(pq)t)]sin((ppix)/(L_x))sin((qpiy)/(L_y)).
(16)
WaveEquationRectangle

上面展示了模式的空间部分图。

通解是所有可能的 p 和 q 值的总和，所以最终解是

z(x,y,t)=sum_(p=1)^inftysum_(q=1)^infty[A_(pq)cos(omega_(pq)t)+B_(pq)sin(omega_(pq)t)]sin((ppix)/(L_x))sin((qpiy)/(L_y)),
(17)

其中 omega 由组合 (◇) 和 (◇) 定义，得到

omega_(pq)=pivsqrt((p/(L_x))^2+(q/(L_y))^2).
(18)

给定初始条件 z(x,y,0) 和 (partialz)/(partialt)(x,y,0)，我们可以显式计算 A_(pq)s 和 B_(pq)s。为了实现这一点，我们利用正弦函数的正交性，形式如下

I=int_0^Lsin((mpix)/L)sin((npix)/L)dx=1/2Ldelta_(mn),
(19)

其中 delta_(mn) 是 克罗内克 delta。这可以通过直接积分来证明。设 u=pix/L，则 du=(pi/L)dx 在 (◇) 中，则

I=L/piint_0^pisin(mu)sin(nu)du.
(20)

现在使用三角恒等式

sinalphasinbeta=1/2[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)]
(21)

来写

I=L/(2pi)int_0^picos[(m-n)u]du+int_0^picos[(m+n)u]du.
(22)

请注意，对于整数 l!=0，以下积分消失

int_0^picos(lu)du=1/l[sin(lu)]_0^pi
(23)
=1/l[sin(lpi)-sin0]
(24)
=1/lsin(lpi)
(25)
=0,
(26)

因为当 l 是整数时，sin(lpi)=0。因此，当 l=m-n!=0 时，I=0。然而，当 l=0 时，I 不消失，因为

int_0^picos(0·u)du=int_0^pidu=pi.
(27)

因此我们有 I=Ldelta_(mn)/2，所以我们推导出了 (◇)。现在我们将 z(x,y,0) 乘以两个正弦项，并在 0 和 L_x 之间以及 0 和 L_y 之间积分，

I=int_0^(L_y)[int_0^(L_x)z(x,y,0)sin((ppix)/(L_x))dx]sin((qpiy)/(L_y))dy.
(28)

现在代入 z(x,y,t)，设置 t=0，并使用带撇的索引来区分它们与 (28) 中的 p 和 q，

I=sum_(q^'=1)^inftyint_0^(L_y)[sum_(p^'=1)^inftyA_(p^'q^')int_0^(L_x)sin((ppix)/(L_x))sin((p^'pix)/(L_x))dx]×sin((qpiy)/(L_y))sin((q^'piy)/(L_y))dy.
(29)

在 (29) 中使用 (◇)，

I=sum_(q^'=1)^inftyint_0^(L_y)sum_(p^'=1)^inftyA_(p^'q^')(L_x)/2delta_(p,p^')sin((qpiy)/(L_y))sin((q^'piy)/(L_y))dy,
(30)

因此，关于 p^' 和 q^' 的求和坍缩为单项

I=(L_x)/2sum_(q=1)^inftyA_(pq^')(L_y)/2delta_(q,q^')=(L_xL_y)/4A_(pq).
(31)

等式 (30) 和 (31) 并求解 A_(pq) 得到

A_(pq)=4/(L_xL_y)int_0^(L_y)[int_0^(L_x)z(x,y,0)sin((ppix)/(L_x))dx]sin((qpiy)/(L_y))dy.
(32)

类似的推导给出 B_(pq)s 为

B_(pq)=4/(omega_(pq)L_xL_y)int_0^(L_y)[int_0^(L_x)(partialz)/(partialt)(x,y,0)sin((ppix)/(L_x))dx]sin((qpiy)/(L_y))dy.
(33)

参见

波动方程, 波动方程——一维, 波动方程——圆盘, 波动方程——三角形

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引用为

Weisstein, Eric W. "波动方程——矩形。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WaveEquationRectangle.html

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