三角形内点选取

给定一个顶点位于原点，另两个顶点位于位置 和 的三角形，人们可能认为三角形内部的随机点可以由下式给出

(1)

其中 和 是区间 内的均匀变量。然而，正如在上面的图中可以看到的，这会非均匀地采样三角形，将点集中在 角落。

从均匀分布 中随机选取每个 三线坐标 也不会在三角形内产生均匀的点间距。如上图所示，结果点集中在中心附近。

为了在三角形内部均匀选取点，可以改为选取

(2)

其中 和 是区间 内的均匀变量，这会给出均匀分布在 四边形 中的点（左图）。不在 三角形内部 的点可以被丢弃，或者变换到三角形内部的对应点（右图）。

从单位边长的 等边三角形 内部随机选取的点到三角形中心的期望距离是

(3)

到固定顶点的期望距离是

(4)

到最近顶点的期望距离是

(5)

而到最远顶点的期望距离是

(6)

从单位面积的三角形中独立且均匀地选取 个点，得到的 凸包 的期望面积为

			(7)
			(8)

其中 是 调和数 (Buchta 1984, 1986)。前几个值是 0, 0, 1/12, 1/6, 43/180, 3/10, 197/560, ... (OEIS A093762 和 A093763)。这是 单纯形单纯形选取 的一个特例。