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陶 Dirichlet 级数

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拉马努金 Dirichlet L-级数定义为

f(s)=sum_(n=1)^infty(tau(n))/(n^s),
(1)

其中 tau(n) 是 tau 函数。 注意，有时使用符号 F(s) 而不是 f(s)（Hardy 1999，第 164 页）。

f(s) 具有类似于黎曼 zeta 函数的性质，并实现为RamanujanTauL[s].

拉马努金猜想 f(s) 的所有非平凡零点都位于直线 R[s]=6 上。

f(s) 满足函数方程

(f(s)Gamma(s))/((2pi)^s)=(f(12-s)Gamma(12-s))/((2pi)^(12-s))
(2)

（Hardy 1999，第 173 页）并具有欧拉乘积表示

f(s)=product_(p)1/(1-tau(p)p^(-s)+p^(11-2s))
(3)

对于 sigma=R[s]>7 (因为 tau(n)=O(n^6)) (Apostol 1997，第 137 页；Hardy 1999，第 164 页)。

f(s) 可以分解为

f(6+it)=z(t)e^(-itheta(t)),
(4)

其中

z(t)=Gamma(6+it)f(6+it)(2pi)^(-it)sqrt((sinh(pit))/(pit(1+t^2)(4+t^2)(9+t^2)(16+t^2)(25+t^2)))
(5)
theta(t)=-1/2iln[(Gamma(6+it))/(Gamma(6-it))]-tln(2pi).
(6)

函数 theta(t) 和 z(t) 由 Wolfram 语言命令返回RamanujanTauTheta[t] 和RamanujanTauZ[t]，分别。

拉马努金 tau Z-函数 Z 函数 z(t) 是实数 实函数 实数 t，类似于黎曼-西格尔函数 Z(t)。 临界带中从 t=0 到 T 的零点数由下式给出

N(t)=(Theta(T)+I{ln[f(6+iT)]})/pi,
(7)

其中 Theta(z) 是拉马努金 theta 函数。 拉马努金猜想该函数的非平凡零点都是实数。

拉马努金 tau_z 函数定义为

tau_z(t)=(Gamma(6+it)(2pi)^(-it))/(f(6+it)sqrt((sinh(pit))/(pitproduct_(k=1)^(5)k^2+t^2))).
(8)

另请参阅

Tau 函数

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参考文献

Apostol, T. M. 数论中的模函数和狄利克雷级数，第二版。 New York: Springer-Verlag, 1997.Hardy, G. H. 拉马努金：关于他生平和工作启发的课题的十二讲，第三版。 New York: Chelsea, 1999.Keiper, J. "On the Zeros of the Ramanujan tau-Dirichlet Series in the Critical Strip." Math. Comput. 65, 1613-1619, 1996.Spira, R. "Calculation of the Ramanujan Tau-Dirichlet Series." Math. Comput. 27, 379-385, 1973.Yoshida, H. "On Calculations of Zeros of L-Functions Related with Ramanujan's Discriminant Function on the Critical Line." J. Ramanujan Math. Soc. 3, 87-95, 1988.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

陶 Dirichlet 级数

请引用为

魏斯坦, 埃里克·W. "陶 Dirichlet 级数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/TauDirichletSeries.html

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