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迪克曼函数

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DickmanFunction

介于 1 和 x 之间的随机整数的最大质因数 <=x^alpha 的概率接近极限值 F(alpha)，当 x->infty 时，其中 F(alpha)=1 对于 alpha>1 且 F(alpha) 通过积分方程定义

F(alpha)=int_0^alphaF(t/(1-t))(dt)/t
(1)

对于 0<=alpha<=1 (Dickman 1930, Knuth 1998)，这几乎（但不完全是）第二类 Volterra 积分方程。该函数对于 1/2<=alpha<=1 可以通过以下方式解析给出

F(alpha)=1-int_alpha^1F(t/(1-t))(dt)/t
(2)
=1-int_alpha^1(dt)/t
(3)
=1+lnalpha
(4)

(Knuth 1998)。

令人惊讶的是，使得 p=n^x 的 x 的平均值为

mu=lim_(n->infty)<x>
(5)
=lim_(n->infty)<(lnp)/(lnn)>
(6)
=int_0^1x(dF)/(dx)dx
(7)
=int_0^1F(t/(1-t))dt
(8)
=0.62432999,
(9)

这正是 Golomb-Dickman 常数 lambda，它是以完全不同的方式定义的！

DickmanFunctionRho

迪克曼函数可以通过将其转换为延迟微分方程来数值求解。这可以通过注意到 t/(1-t) 将变为 (1-t)/t=1/t-1 通过乘法逆转，因此定义 rho(alpha)=F(1/alpha) 以获得

rho(1/alpha)=int_0^alpharho(1/t-1)(dt)/t.
(10)

现在通过定义来改变积分符号下的变量

t^'=1/t
(11)
dt^'=-(dt)/(t^2),
(12)

所以

(dt)/t=-(dt^')/(t^').
(13)

代入回去得到

rho(1/alpha)=-int_infty^(1/alpha)rho(t^'-1)(dt^')/(t^').
(14)

为了消除 1/alphas，定义 u=1/alpha，所以

rho(u)=-int_infty^urho(t^'-1)(dt^')/(t^').
(15)

但是根据微积分第一基本定理，

d/(dx)int_a^xf(x^')dx^'=f(x),
(16)

所以对方程 (15) 两边求导得到

rho^'(u)=-(rho(u-1))/u.
(17)

这对于 0<alpha<1 成立，这对应于 u>1。重新排列并结合条件 F(alpha)=1 对于 alpha>1 在新变量中的适当陈述，然后得到

{rho(u)=1 for 0<=u<=1; urho^'(u)+rho(u-1)=0 for u>1.
(18)

第二大质因数将是 <=x^beta 由类似于 F(alpha) 的表达式给出。它表示为 G(beta)，其中 G(beta)=1 对于 beta>=1/2 且

G(beta)=int_0^beta[G(t/(1-t))-F(t/(1-t))](dt)/t
(19)

对于 0<=beta<=1/2。

另请参阅

布赫斯塔布函数, Golomb-Dickman 常数, 最大质因数, 质因数

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参考文献

Dickman, K. "关于包含特定相对大小质因数的数字的频率。" Arkiv för Mat., Astron. och Fys. 22A, 1-14, 1930.Knuth, D. E. 计算机程序设计艺术，第 2 卷：半数值算法，第 3 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 382-384, 1998.Norton, K. K. 具有小质因数的数字，以及最小 k 次幂非剩余。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1971.Panario, D. "组合结构中的最小组件。" 1998 年 2 月 16 日。 http://algo.inria.fr/seminars/sem97-98/panario.pdf.Ramaswami, V. "关于小于 x 且没有大于 x^c 的质因子的正整数的数量。" Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1122-1127, 1949.Ramaswami, V. "正整数 <=X 的数量，以及没有 >x^C 的质因子，以及 S. S. Pillai 的问题。" Duke Math. J. 16, 99-109, 1949.

在 Wolfram|Alpha 中引用

迪克曼函数

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "迪克曼函数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DickmanFunction.html

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