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反射三角形

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ReflectedTriangle

通过将参考三角形 DeltaABC 的顶点关于对边进行反射而获得的三角形 DeltaA^*B^*C^* 称为反射三角形（Grinberg 2003）。它与参考三角形透视，垂心 H 作为透视中心，并具有三线性顶点矩阵

[-1 2cosC 2cosB; 2cosC -1 2cosA; 2cosB 2cosA -1].
(1)

其边长为

a^'=1/(bc)(sqrt(a^6-3b^2a^4-3c^2a^4+3b^4a^2+3c^4a^2+3b^2c^2a^2-b^6-c^6+b^2c^4+b^4c^2))
(2)
b^'=1/(ac)(sqrt(-a^6+3b^2a^4+c^2a^4-3b^4a^2+c^4a^2+3b^2c^2a^2+b^6-c^6+3b^2c^4-3b^4c^2))
(3)
c^'=1/(ab)(sqrt(-a^6+b^2a^4+3c^2a^4+b^4a^2-3c^4a^2+3b^2c^2a^2-b^6+c^6-3b^2c^4+3b^4c^2)).
(4)

其面积由下式给出

Delta=4-((OH)/R)^2
(5)
=-(a^6-b^2a^4-c^2a^4-b^4a^2-c^4a^2-b^2c^2a^2+b^6+c^6-b^2c^4-b^4c^2)/(a^2b^2c^2)Delta
(6)

（P. Moses，个人交流，2005 年 1 月 31 日），其中 O 是外心，H 是垂心，R 是外接圆半径，Delta 是参考三角形的面积。

其三角形重心具有三角形中心函数

alpha=a(S^2-S_A^2+2S_BS_C)
(7)
=a(-b^4+a^2b^2+c^2b^2-c^4+a^2c^2),
(8)

这不是 Kimberling 中心（P. Moses，个人交流，2005 年 2 月 7 日），其中 S、S_A、S_B 和 S_C 是 Conway 三角形符号。反射三角形的外接圆是反射圆，其外心是 Kimberling 中心 X_(195)，它是 X_5 的 X_3-Ceva 共轭。其垂心具有复杂的三角形中心函数，这不是 Kimberling 中心。

反射三角形与 Cevian 三角形透视，Cevian 点位于正交枢轴三次曲线 K060 上，对应于 Kimberling 中心 X_i，其中 i=4、5、13、14、30、79、80、621、622、1117 和 1141。它与 Anticevian 三角形透视，Anticevian 点位于 Napoleon-Feuerbach 三次曲线上，对应于 Kimberling 中心，其中 i=1、3、4、5、17、18、54、61、62、195、627、628、2120 和 2121。它也与 Antipedal 三角形透视，Antipedal 点对应于 Kimberling 中心，其中 i=1、5、20、24、54、64、68、155、254 和 2917 (P. Moses，个人交流，2005 年 2 月 3 日)。

反射三角形当且仅当

cosAcosBcosC=-3/8
(9)

时退化（Bottema 1987）。

反射三角形与九点圆的垂足三角形位似（Bottema 1987）。特别地，如果 G 是 DeltaABC 的三角形重心，则反射三角形是九点中心的垂足三角形在位似变换 h(G,4) 下的图像（Boutte 2001，引用于 Grinberg 2003）。

反射三角形的外心是Kimberling 中心 X_(195)，它是 X_5 的 X_3-Ceva 共轭。

参见

反射圆, 反射

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参考文献

Bottema, O. Hoofdstukken uit de elementaire meetkunde, 2nd ed. Utrecht, Netherlands: Epsilon, pp. 83-87, 1987.Grinberg, D. "On the Kosnita Point and the Reflection Triangle." Forum Geom. 3, 105-111, 2003. http://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200311index.html.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

反射三角形

引用为

Weisstein, Eric W. “反射三角形。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ReflectionTriangle.html

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