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Lehmer's Mahler 测度问题

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Lehmer's Mahler 测度问题是一个数学中的未解决的问题，归因于 Lehmer (1933)，它关系到Mahler 测度 M_1(P) 的最小值，对于一个单变量多项式 P(x)，它不是分圆多项式的乘积。Lehmer (1933) 推测，如果 P(x) 是这样一个整系数多项式，那么

M_1(P)>=M_1(1-x+x^3-x^4+x^5-x^6+x^7-x^9+x^(10))
(1)
=m^*,
(2)

其中 m^* approx 1.1762, 用 Omega (Lehmer, 1933) 和 lambda (Hironaka, 2009) 表示，是这个多项式的最大正根。如上左图所示，这个多项式的根非常特殊，因为 10 个根中有 8 个位于单位圆上，在复平面中。给出接下来两个已知最小 Mahler 测度的多项式的根（用其系数的一半表示）也在上面进行了说明 (Mossinghoff 1998, p. S11)。

当前最佳界限是 Smyth (1971) 的结果，他证明了 M(F)>theta_1，其中 F 是一个非零非互反多项式，它不是分圆多项式的乘积 (Everest 1999)，并且 theta_1 approx 1.324 是 x^3-x-1=0 的实根。Lloyd-Smith (1985) 和 Dubickas (1997) 构建了 Smyth 结果的推广。

MahlerMeasure

一般来说，最小的Mahler 测度出现在绝对值小的整系数多项式中。上面的直方图显示了随机阶数 1 到 10 的随机 (-1,0,1)-多项式的测度分布。Mossinghoff (1998) 给出了多项式次数高达 d=24 的已知最小 Mahler 测度的表格，并随后证明了 m^* 是所有高达 40 次的多项式中大于 1 的最小Mahler 测度 (Mossinghoff, Hironaka 2009)。

m^* 是一个 Salem 常数。

另请参阅

Lehmer 数, Mahler 测度, Pisot 数, Salem 常数

本条目部分内容由 Kevin O'Bryant 贡献

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参考文献

Bailey, D. H. and Broadhurst, D. J. "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder." 20 Jun 1999. http://arxiv.org/abs/math.CA/9906134.Boyd, D. W. "Reciprocal Polynomials Having Small Measure." Math. Comput. 35, 1361-1377, 1980.Boyd, D. W. "Reciprocal Polynomials Having Small Measure. II." Math. Comput. 53, 355-357 and S1-S5, 1989.Dubickas, A. "Algebraic Conjugates Outside the Unit Circle." In New Trends in Probability and Statistics, Vol. 4: Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. Proceedings of the 2nd International Conference held in Honor of J. Kubilius on His 75th Birthday in Palanga, September 23-27, 1996 (Ed. A. Laurinčikas, E. Manstavičius, and V. Stakenas). Utrecht, Netherlands: VSP, pp. 11-21, 1997.Everest, G. and Ward, T. Ch. 1 in Heights of Polynomials and Entropy in Algebraic Dynamics. London: Springer-Verlag, 1999.Hironaka, E. "What Is... Lehmer's Number." Not. Amer. Math. Soc. 56, 374-375, 2009.Lehmer, D. H. "Factorization of Certain Cyclotomic Functions." Ann. Math. 34, 461-469, 1933.Lloyd-Smith, C. W. "Algebraic Numbers Near the Unit Circle." Acta Arith. 45, 43-57, 1985.Mossinghoff, M. "Lehmer's Problem." http://oldweb.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/.Mossinghoff, M. J. "Polynomials with Small Mahler Measure." Math. Comput. 67, 1697-1705 and S11-S14, 1998.Smyth, C. J. "On the Product of the Conjugates Outside the Unit Circle of an Algebraic Integer." Bull. London Math. Soc. 3, 169-175, 1971.

Wolfram|Alpha 引用

Lehmer's Mahler 测度问题

请引用为

O'Bryant, Kevin 和 Weisstein, Eric W. "Lehmer's Mahler 测度问题." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/LehmersMahlerMeasureProblem.html

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