序数

在日常用法中，序数是一个形容词，用来描述物体在数字上的位置，例如，第一，第二，第三等。

在形式集合论中，序数（有时简称“序”）是格奥尔格·康托尔对全体自然数的扩展中的一种数。序数被定义为良序集的序类型 (Dauben 1990, p. 199; Moore 1982, p. 52; Suppes 1972, p. 129)。有限序数通常用阿拉伯数字表示，而超限序数则用小写希腊字母表示。

很容易看出，每个有限全序集都是良序的。任何两个具有 个元素（其中 为非负整数）的全序集都是序同构的，因此具有相同的序类型（这也是一个序数）。有限集的序数表示为 0, 1, 2, 3, ..., 即比相应的非负整数小 1 的整数。

第一个超限序数，用 表示，是非负整数集合的序类型 (Dauben 1990, p. 152; Moore 1982, p. viii; Rubin 1967, pp. 86 and 177; Suppes 1972, p. 128)。这是康托尔超限数中“最小”的，定义为大于全体自然数的序数的最小序数。 Conway 和 Guy (1996) 使用符号 表示它。

根据序数比较的定义，可以得出序数是一个良序集。按照递增的大小顺序，序数是 0, 1, 2, ..., , , , ..., , , .... 序数的表示法可能有点违反直觉，例如，即使 , 。可数序数集合的基数用 (aleph-1) 表示。

如果 是一个序数为 的良序集，那么所有小于 的序数的集合与 序同构。这提供了将序数定义为所有小于它自身的序数的集合的动机。约翰·冯·诺伊曼将集合 定义为序数，当且仅当

1. 如果 是 的元素，则 是 的真子集。

2. 如果 和 是 的元素，则以下情况之一为真：, 是 的元素，或者 是 的元素。

3. 如果 是 的非空真子集，则存在 属于 ，使得交集 为空。

(Rubin 1967, p. 176; Ciesielski 1997, p. 44)。这是序数的标准表示。在这种表示中，

符号	元素	描述
0		空集
1		单元素集合
2		双元素集合
3		三元素集合
		所有有限序数的集合
		所有可数序数的集合
		所有可数和 序数的集合
		所有有限序数和所有非负整数 的 序数的集合

Rubin (1967, p. 272) 提供了 序数的清晰定义。

由于对于任何序数 ，并集 是一个更大的序数 ，所以不存在最大的序数，因此所有序数的类是一个真类（如 Burali-Forti 悖论所示）。

序数还有一些其他相当奇特的性质。两个序数的和可以取两个不同的值，三个序数的和可以取五个值。这个序列的前几项是 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449, , , , , , ..., 即 2, 5, 13, 33, 81, 193, 449, 1089, 2673, 6561, 15633, 37249, ... (Conway 和 Guy 1996, OEIS A005348)。对于 ， 个序数的和有 或 种可能的答案 (Conway 和 Guy 1996)。

与 相同，但 等于 。 大于任何 of the form 形式的数， 大于 ，依此类推。

存在一些序数，它们不能通过较小的序数的有限次加法、乘法和指数运算构造出来。这些序数服从康托尔方程。第一个这样的序数是

下一个是

然后是 , , ..., , , ..., , ..., , , ..., , , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ..., , ... (Conway 和 Guy 1996)。

序数加法、序数乘法和序数指数运算都可以被定义。尽管这些定义对于序类型也完全适用，但这似乎并不常用。通常有两种方法来定义序数上的运算：一种是使用集合，另一种是归纳法。