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猴鞍面

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MonkeySaddle

猴鞍面是一种曲面，猴子可以跨坐在上面，两条腿和尾巴各放一边。

这种曲面的一个简单笛卡尔方程是

z=x(x^2-3y^2),
(1)

它也可以用参数方程给出

x(u,v)=u
(2)
y(u,v)=v
(3)
z(u,v)=u^3-3uv^2,
(4)

或者用柱坐标表示为

z=r^3cos(3theta).
(5)

猴鞍面有一个单独的驻点，如下表总结。虽然二阶导数检验不足以对这个驻点进行分类，但它实际上是一个鞍点。

(x_0,y_0)z_(uu)z_(uu)z_(vv)-z_(uv)^2点
(0,0)20鞍点

猴鞍面的第一基本形式的系数是

E=1+9(u^2-v^2)^2
(6)
F=-18uv(u^2-v^2)
(7)
G=1+36u^2v^2
(8)

而第二基本形式的系数是

e=(6u)/(sqrt(1+9(u^2+v^2)^2))
(9)
f=-(6v)/(sqrt(1+9(u^2+v^2)^2))
(10)
g=-(6u)/(sqrt(1+9(u^2+v^2)^2)),
(11)

给出黎曼度量

ds^2=[1+(3u^2-3v^2)^2]du^2-2[18uv(u^2-v^2)]dudv+(1+36u^2v^2)dv^2,
(12)

面积元素

dA=sqrt(1+9(u^2+v^2)^2)du ^ dv,
(13)

以及高斯和平均曲率

K=-(36(u^2+v^2))/([1+9(u^2+v^2)^2]^2)
(14)
H=(27u(-u^4+2u^2v^2+3v^4))/([1+9(u^2+v^2)^2]^(3/2))
(15)

（Gray 1997）。高斯曲率可以隐式地写成

K(x,y,z)=-(36a^4(x^2+y^2))/((a^4+9x^4+18x^2y^2+9y^4)^2),
(16)

因此，猴鞍面上除原点外的每个点都具有负高斯曲率。

Peckham (2011) 询问了自然景观中是否存在猴鞍面，随后 Coté et al. (2020) 识别出几个。

另请参阅

交叉槽, 手帕曲面, 偏导数

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参考文献

Coté, J.-J.; Elgersma, M.; Kline, J. S.; and Wagon, S. "Monkey Business." Math Horizons 28, 16-17, Sep. 2020.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, p. 365, 1969.Gray, A. "Monkey Saddle." Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 299-301, 382-383, and 408, 1997.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, p. 202, 1999.Peckham, S. "Monkey, Starfish, and Octopus Saddles." Proc. Geomorphometry 2011: Five days of Digital Terrain Analysis. Redlands, CA, pp. 31-34, 2011.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "猴鞍面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MonkeySaddle.html

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