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二阶导数检验

假设 f(x) 是 x 的函数，在驻点 x_0 处二次可微。

1. 如果 f^('')(x_0)>0, 那么 f 在 局部最小值 x_0 处。

2. 如果 f^('')(x_0)<0, 那么 f 在 局部最大值 x_0 处。

极值检验给出了更一般的条件，在这些条件下，二阶导数为零的函数 f^('')(x_0)=0 是极大值或极小值。

如果 f(x,y) 是一个二维函数，在点 局部极值 (x_0,y_0) 处，并且在该点具有连续偏导数，那么 f_x(x_0,y_0)=0 且 f_y(x_0,y_0)=0。二阶偏导数检验将该点分类为局部最大值或局部最小值。

将二阶导数检验判别式定义为

D=f_(xx)f_(yy)-f_(xy)f_(yx)
(1)
=f_(xx)f_(yy)-f_(xy)^2.
(2)

那么

1. 如果 D>0 且 f_(xx)(x_0,y_0)>0，则该点是局部最小值。

2. 如果 D>0 且 f_(xx)(x_0,y_0)<0，则该点是局部最大值。

3. 如果 D<0，则该点是鞍点。

4. 如果 D=0，则必须使用更高阶的检验。

另请参阅

极值, 极值检验, 一阶导数检验, 全局最大值, 全局最小值, Hessian 矩阵, 局部最大值, 局部最小值, 最大值, 最小值, 鞍点, 二阶导数检验判别式 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 14, 1972.Thomas, G. B. Jr. and Finney, R. L. "Maxima, Minima, and Saddle Points." §12.8 in Calculus and Analytic Geometry, 8th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 881-891, 1992.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

二阶导数检验

引用为

Weisstein, Eric W. "二阶导数检验。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SecondDerivativeTest.html

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