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马勒测度

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对于一个 多项式 P(x_1,x_2,...,x_k), P 的马勒测度定义为

M_k(P)=exp[int_0^1...int_0^1ln|P(e^(2piit_1),...,e^(2piit_k))|dt_1...dt_k].
(1)

使用 Jensen 公式，可以证明对于 P(x)=aproduct_(i=1)^(n)(x-alpha_i),

M_1(P)=|a|product_(i=1)^nmax{1,|alpha_i|}
(2)

(Borwein 和 Erdélyi 1995, 第 271 页)。

具体情况由下式给出

M_1(ax+b)=max{|a|,|b|}
(3)
M_2(1+x+y)=M_1(max{1,|1+x|})
(4)
M_2(1+x+y-xy)=M_1(max{|1-x|,|1+x|})
(5)

(Borwein 和 Erdélyi 1995, 第 272 页)。

分圆多项式 的乘积的马勒测度为 1。 整系数多项式 在 k 个变量中的马勒测度给出了与该多项式规范相关的 Z^k-动力系统的拓扑熵。

Lehmer 的马勒测度问题 猜想，一个特定的单变量多项式具有除 1 之外的最小可能马勒测度。

另请参阅

Jensen 公式, Lehmer 的马勒测度问题

此条目由 Kevin O'Bryant 贡献

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参考文献

Borwein, P. 和 Erdélyi, T. "马勒测度。" §5.3.E.4 in 多项式与多项式不等式。 New York: Springer-Verlag, pp. 271-272, 1995.Everest, G. 和 Ward, T. 代数动力学中多项式的高度和熵。 London: Springer-Verlag, 1999.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

马勒测度

请引用为

O'Bryant, Kevin. “马勒测度。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/MahlerMeasure.html

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