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第一类斯特林数

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有符号 第一类斯特林数有多种表示方法 s(n,m) (Riordan 1980, Roman 1984), S_n^((m)) (Fort 1948, Abramowitz 和 Stegun 1972), S_n^m (Jordan 1950)。Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 822) 总结了各种符号约定，这可能会有点 confusing (尤其因为无符号 版本 S_1(n,m)=|s(n,m)| 也被普遍使用)。有符号第一类斯特林数 s(n,m) 由以下函数返回StirlingS1[n, m] 在 Wolfram 语言中，其中它们被表示为 S_n^((m))。

有符号第一类斯特林数 s(n,m) 被定义为：包含恰好 m 个 排列轮换 的 n 个元素的 排列 的数量是以下非负数

|s(n,m)|=(-1)^(n-m)s(n,m).
(1)

这意味着当 m>n 时 s(n,m)=0，当 s(n,n)=1 时 s(n,n)=1。一组相关的数字被称为关联第一类斯特林数。这些数和通常的第一类斯特林数都是一个通用函数 d_r(n,k) 的特例，该函数与排列中的轮换数有关。

有符号第一类斯特林数的三角形是

1 -1 1 2 -3 1 -6 11 -6 1 24 -50 35 -10 1
(2)

(OEIS A008275)。特殊值包括

s(n,0)=delta_(n0)
(3)
s(n,1)=(-1)^(n-1)(n-1)!
(4)
s(n,2)=(-1)^n(n-1)!H_(n-1)
(5)
s(n,3)=1/2(-1)^(n-1)(n-1)![H_(n-1)^2-H_(n-1)^((2))]
(6)
s(n,n-1)=-(n; 2),
(7)

其中 delta_(mn) 是 克罗内克 delta，H_n 是 调和数，H_n^((r)) 是 r 阶调和数，并且 (n; k) 是 二项式系数。

第一类斯特林数的 生成函数 是

sum_(k=0)^(n)s(n,k)x^k=(x)_n
(8)
=(1+x-n)^((n))
(9)
=n!(x; n)
(10)
=(-1)^nn!(n-x-1; n),
(11)

其中 (x)_n 是 下降阶乘，x^((n)) 是 上升阶乘，

sum_(k=m)^infty(s(k,m))/(k!)x^k=([ln(x+1)]^m)/(m!)
(12)

对于 x<1 (Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 824) 且

sum_(k=1)^(n+1)(-1)^(n+1-k)s(n+1,k)x^(n+1-k)=product_(k=1)^(n)(1+kx)
(13)
=x^n(1+1/x)_n.
(14)

第一类斯特林数满足以下 递推关系

s(n+1,m)=s(n,m-1)-ns(n,m)
(15)

对于 1<=m<=n 以及以下求和恒等式

s(n,m)=sum_(k=m)^nn^(k-m)s(n+1,k+1)
(16)

对于 m>=1 且

(m; r)s(n,m)=sum_(k=m-r)^(n-r)(n; k)s(n-k,r)s(k,m-r)
(17)

对于 0<=r<=m，其中 (n; k) 是 二项式系数。

第一类斯特林数 s(n,m) 与 第二类斯特林数 S(n,m) 相关联。例如，矩阵 (s)_(i,j) 和 (S)_(i,j) 互为 逆矩阵，其中 (A)_(ij) 表示 (i,j)th 项为 aAi,j) 的矩阵，对于 i,j=1, ..., n (G. Helms, 私人通讯, 4月 28, 2006)。

其他公式包括

s(n,i)=sum_(k=i)^(n)sum_(j=0)^(k)s(n,k)s(k,j)S(j,i)
(18)
S(n,i)=sum_(k=i)^(n)sum_(j=0)^(k)S(n,k)S(k,j)s(j,i)
(19)

(Roman 1984, p. 67)，以及

S(n,m)=sum_(k=0)^(n-m)(-1)^k(k+n-1; k+n-m)(2n-m; n-k-m)s(k-m+n,k)
(20)
s(n,m)=sum_(k=0)^(n-m)(-1)^k(k+n-1; k+n-m)(2n-m; n-k-m)S(k-m+n,k)
(21)
sum_(l=0)^(max(k,j)+1)s(l,j)S(k,l)=delta_(jk)
(22)
sum_(l=0)^(max(k,j)+1)s(k,l)S(l,j)=delta_(jk).
(23)
StirlingNumberFirstKind

斯特林数的非负（无符号）版本给出了具有 m 个 排列轮换 的 n 个对象的排列数（反方向的轮换被视为不同的轮换），并且通过取有符号版本的 绝对值 获得。非负第一类斯特林数有多种表示方法

S_1(n,m)=[n; m]=|s(n,m)|
(24)

(Graham 等人 1994)。上面显示了说明 S_1(5,1)=24, S_1(5,3)=35, S_1(5,4)=10, 和 S_1(5,5)=1 (Dickau) 的图表。

非负第一类斯特林数满足

S_1(n+1,k)=nS_1(n,k)+S_1(n,k-1),
(25)

并且可以使用恒等式推广到非整数参数（一种“斯特林多项式”）

(Gamma(j+h))/(j^hGamma(j))=sum_(k=0)^(h)(S_1(h,h-k))/(j^k)
(26)
=1+((h-1)h)/(2j)+((h-2)(3h-1)(h-1)h)/(24j^2)+((h-3)(h-2)(h-1)^2h^2)/(48j^3)+...,
(27)

这是伽玛函数比率的 渐近级数 Gamma(j+1/2)/Gamma(j) 的推广 (Gosper 1996)。

另请参阅

关联第一类斯特林数, 调和数, 排列, 排列轮换, 第二类斯特林数, 斯特林多项式, 斯特林变换

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/IntegerFunctions/StirlingS1/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "Stirling Numbers of the First Kind." §24.1.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 824, 1972.Adamchik, V. "On Stirling Numbers and Euler Sums." J. Comput. Appl. Math. 79, 119-130, 1997.Appell, P. "Développments en série entière de (1+ax)^(1/x)." Grunert Archiv 65, 171-175, 1880.Butzer, P. L. 和 Hauss, M. "Stirling Functions of the First and Second Kinds; Some New Applications." Israel Mathematical Conference Proceedings: Approximation, Interpolation, and Summability, in Honor of Amnon Jakimovski on his Sixty-Fifth Birthday (编 S. Baron 和 D. Leviatan). Ramat Gan, Israel: IMCP, pp. 89-108, 1991.Carlitz, L. "On Some Polynomials of Tricomi." Boll. Un. M. Ital. 13, 58-64, 1958.Carlitz, L. "Note on Nörlund's [sic] Polynomial B_n^((z))." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 452-455, 1960.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1974.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 91-92, 1996.David, F. N.; Kendall, M. G.; 和 Barton, D. E. Symmetric Function and Allied Tables. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 226, 1966.Dickau, R. M. "Stirling Numbers of the First Kind." http://mathforum.org/advanced/robertd/stirling1.html.Fort, T. Finite Differences and Difference Equations in the Real Domain. Oxford, England: Clarendon Press, 1948.Gosper, R. W. "Funny Looking Sum." [email protected] posting, July 24, 1996.Gould, H. W. "Stirling Number Representation Problems." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 447-451, 1960.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. "Stirling Numbers." §6.1 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 257-267, 1994.Hauss, M. Verallgemeinerte Stirling, Bernoulli und Euler Zahlen, deren Anwendungen und schnell konvergente Reihen für Zeta Funktionen. Aachen, Germany: Verlag Shaker, 1995.Jordan, C. Calculus of Finite Differences, 3rd ed. New York: Chelsea, 1965.Knuth, D. E. "Two Notes on Notation." Amer. Math. Monthly 99, 403-422, 1992.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, 1980.Roman, S. The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 59-63, 1984.Sloane, N. J. A. Sequences A000457/M4736, A008275, 和 A008306 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stirling, J. Methodus differentialis, sive tractatus de summation et interpolation serierum infinitarium. London, 1730. English translation by Holliday, J. The Differential Method: A Treatise of the Summation and Interpolation of Infinite Series. 1749.Tricomi, F. G. "A Class of Non-Orthogonal Polynomials Related to those of Laguerre." J. Analyse M. 1, 209-231, 1951.Young, P. T. "Congruences for Bernoulli, Euler, and Stirling Numbers." J. Number Th. 78, 204-227, 1999.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

第一类斯特林数

请引用为

Weisstein, Eric W. “第一类斯特林数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/StirlingNumberoftheFirstKind.html

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