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施瓦茨不等式

设 psi_1(x) 和 psi_2(x) 是在 [a,b] 中的任意两个 实 可积 函数，则施瓦茨不等式由下式给出

|<psi_1|psi_2>|^2<=<psi_1|psi_1><psi_2|psi_2>.
(1)

显式写出

[int_a^bpsi_1(x)psi_2(x)dx]^2<=int_a^b[psi_1(x)]^2dxint_a^b[psi_2(x)]^2dx,
(2)

等号成立当且仅当 psi_1(x)=alphapsi_2(x)，其中 alpha 是常数。施瓦茨不等式有时也称为柯西-施瓦茨不等式 (Gradshteyn and Ryzhik 2000, p. 1099) 或本雅科夫斯基不等式 (Hardy et al. 1952, p. 16)。

为了推导不等式，设 psi(x) 是一个 复函数，lambda 是一个 复 常数，使得 psi(x)=f(x)+lambdag(x) 对于某些 f 和 g。由于 intpsi^_psidx>=0，其中 z^_ 是 复共轭，

intpsi^_psidx=intf^_fdx+lambdaintf^_gdx+lambda^_intg^_fdx+lambdalambda^_intg^_gdx>=0,
(3)

等号成立当 psi(x)=0 时。用紧凑符号表示，

<f^_,f>+lambda<f^_,g>+lambda^_<g^_,f>+lambdalambda^_<g^_,g>>=0.
(4)

现在定义

lambda=-(<g^_,f>)/(<g^_,g>)
(5)
lambda^_=-(<g,f^_>)/(<g^_,g>).
(6)

将 (4) 乘以 <g^_,g>，然后代入 (5) 和 (6) 得到

<f^_,f><g^_,g>-<f^_,g><g^_,f> -<g^_,f><g,f^_>+<g^_,f><g,f^_>>=0,
(7)

化简为

<g^_,f><f^_,g><=<f^_,f><g^_,g>
(8)

所以

|<f,g>|^2<=<f,f><g,g>.
(9)

贝塞尔不等式 由施瓦茨不等式得出。

另请参阅

贝塞尔不等式, 柯西不等式, 赫尔德不等式

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 11, 1972.Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 527-529, 1985.Buniakowsky, V. "Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux différences finies." Mémoires de l'Acad. de St. Pétersbourg (VII) 1, No. 9, p. 4, 1959.Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1099, 2000.Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. "Further Remarks on Method: The Inequality of Schwarz." §6.5 in Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 132-134, 1952.Schwarz, H. A. "Über ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung." Acta Soc. Scient. Fen. 15, 315-362, 1885. Reprinted in Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Vol. 1. New York: Chelsea, pp. 224-269, 1972.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

施瓦茨不等式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Schwarz's Inequality." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SchwarzsInequality.html

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