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双曲余割

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Csch
CschReIm
CschContours

双曲余割定义为

cschz=1/(sinhz)=2/(e^z-e^(-z)).
(1)

它在 Wolfram 语言 中被实现为Csch[z].

它通过以下方式与 双曲余切 相关

cschz=coth(1/2z)-cothz.
(2)

导数 由下式给出

d/(dz)cschz=-cothzcschz,
(3)

其中 cothz 是 双曲余切，不定积分由下式给出

intcschzdz=ln[sinh(1/2z)]-ln[cosh(1/2z)]+C,
(4)

其中 C 是 积分常数。

它具有 泰勒级数

cschz=sum_(n=-1)^(infty)(2^(n+1)B_(n+1)(1/2))/((n+1)!)z^n
(5)
=1/z-sum_(n=1)^(infty)(2(2^(2n-1)-1)B_(2n))/((2n)!)z^(2n-1)
(6)
=1/z-z/6+(7z^3)/(360)-(31z^5)/(15120)+...
(7)

(OEIS A036280 和 A036281), 其中 B_n(x) 是 伯努利多项式，B_n 是 伯努利数。

求和包括

sum_(k=1)^(infty)csch^2(pik)=1/6-1/(2pi)
(8)
=0.007511723...
(9)

(OEIS A110191; Berndt 1977)。

CschBifurcation

上面的图显示了 csch(x+alpha) 的分岔图。

另请参阅

伯努利数, 双极坐标, 双极柱坐标, 余割, 亥姆霍兹微分方程--环面坐标, 双曲函数, 双曲正弦, 反双曲余割, 潘索螺线, 旋转曲面, 环面函数

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Hyperbolic Functions." §4.5 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 83-86, 1972.Berndt, B. C. "Modular Transformations and Generalizations of Several Formulae of Ramanujan." Rocky Mtn. J. Math. 7, 147-189, 1977.Jeffrey, A. "Hyperbolic Identities." §2.5 in 数学公式和积分手册，第 2 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 117-122, 2000.Sloane, N. J. A. Sequences A036280, A036281, and A110191 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences." (整数数列线上百科全书)Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Hyperbolic Secant sech(x) and Cosecant csch(x) Functions." Ch. 29 in 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 273-278, 1987.Zwillinger, D. (Ed.). "Hyperbolic Functions." §6.7 in CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 476-481 1995.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

双曲余割

请引用为

Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Cosecant." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HyperbolicCosecant.html

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