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斐波那契双曲函数

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设

psi=1+phi
(1)
=1/2(3+sqrt(5))
(2)
=2.618033...
(3)

(OEIS A104457), 其中 phi 是 黄金比例，并且

alpha=lnphi
(4)
=0.4812118
(5)

(OEIS A002390)。

FibonacciSinh

定义斐波那契双曲正弦为

sFh(x)=(psi^x-psi^(-x))/(sqrt(5))
(6)
=(phi^(2x)-phi^(-2x))/(sqrt(5))
(7)
=2/(sqrt(5))sinh(2xalpha).
(8)

该函数满足

sFh(-x)=-sFh(x),
(9)

并且对于 n in Z,

sFh(n)=F_(2n),
(10)

其中 F_n 是一个 斐波那契数。对于 n=1, 2, ...，这些值因此为 1, 3, 8, 21, 55, ... (OEIS A001906)。

FibonacciCosh

定义斐波那契双曲余弦为

cFh(x)=(psi^(x+1/2)+psi^(-(x+1/2)))/(sqrt(5))
(11)
=(phi^((2x+1))+phi^(-(2x+1)))/(sqrt(5))
(12)
=2/(sqrt(5))cosh[(2x+1)alpha].
(13)

此函数满足

cFh(-x)=cFh(x-1),
(14)

并且对于 n in Z,

cFh(n)=F_(2n+1),
(15)

其中 F_n 是一个 斐波那契数。对于 n=1, 2, ...，这些值因此为 2, 5, 13, 34, 89, ... (OEIS A001519)。

FibonacciTanh

类似地，斐波那契双曲正切定义为

tFh(x)=(sFh(x))/(cFh(x)),
(16)

并且对于 x in Z,

tFh(n)=(F_(2n))/(F_(2n+1)).
(17)

对于 n=1, 2, ...，这些值因此为 1/2, 3/5, 8/13, 21/34, 55/89, ... (OEIS A001906 和 A001519)。

另请参阅

斐波那契数

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参考文献

Sloane, N. J. A. 序列 A001519/M1439, A001906/M2741, A002390/M3318, 和 A104457，出自 "整数数列在线百科全书"。Stakhov, A. 和 Tkachenko, I. "双曲斐波那契三角学。" Dokl. Akad. Nauk Ukrainy, No. 7, 9-14, 1993.Trzaska, Z. W. "关于斐波那契双曲三角学和修正数值三角形。" Fib. Quart. 34, 129-138, 1996.

在 Wolfram|Alpha 中引用

斐波那契双曲函数

如此引用

Weisstein, Eric W. "斐波那契双曲函数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/FibonacciHyperbolicFunctions.html

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