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环形函数

环形函数是一类也称为环函数的函数，它们出现在具有环形对称性的系统中。 环形函数可以用相关的第一类勒让德函数和第二类勒让德函数表示 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 336)

P_(nu-1/2)^mu(cosheta)=[Gamma(1-mu)]^(-1)2^(2mu)(1-e^(-2eta))^(-mu)e^(-(nu+1/2)eta)_2F_1(1/2-mu,1/2+nu-mu;1-2mu;1-e^(-2eta)) P_(n-1/2)^m(cosheta)=(Gamma(n+m+1/2)(sinheta)^m)/(Gamma(n-m+1/2)2^msqrt(pi)Gamma(m+1/2))int_0^pi(sin^(2m)phidphi)/((cosheta+cosphisinheta)^(n+m+1/2)) Q_(nu-1/2)^mu(cosheta)=[Gamma(1+nu)]^(-1)sqrt(pi)e^(imupi)Gamma(1/2+nu+mu)(1-e^(-2eta))^mue^(-(nu+1/2)eta)_2F_1(1/2-mu,1/2+nu+mu;1+mu;1-e^(-2eta)) Q_(n-1/2)^m(cosheta)=((-1)^mGamma(n+1/2))/(Gamma(n-m+1/2))int_0^infty(cosh(mt)dt)/((cosheta+coshtsinheta)^(n+1/2))

对于 n>m。 Byerly (1959) 认为

1/(i^(n/2))P_m^n(cothx)=csch^nx(d^nP_m(cothx))/(d(cothx)^n)

是“环形谐波”。

环形函数是 U(u) 的微分方程的解，该方程是拉普拉斯方程在环形坐标系中的解。

另请参阅

缔合勒让德多项式, 圆锥函数, 拉普拉斯方程——环形坐标

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (Eds.). "环形函数（或环函数）"。 §8.11 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 纽约: Dover, p. 336, 1972.Byerly, W. E. 傅里叶级数、球谐函数、柱谐函数和椭球谐函数的基本论著，以及在数学物理问题中的应用。 纽约: Dover, p. 266, 1959.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (Eds.). 数学百科词典。 Cambridge, MA: MIT Press, p. 1468, 1980.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

环形函数

请引用为

Weisstein, Eric W. “环形函数”。 来自 MathWorld——一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ToroidalFunction.html

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