霍普夫映射

发现的第一个从高维球面到低维球面的映射的例子，该映射不是零伦的。它的发现震惊了数学界，因为当时人们认为，与同调群类似，所有这样的映射都是零伦的。

霍普夫映射 出现在许多上下文中，并且可以推广到映射 。对于球面上的任何点 ，其原像 是 中的一个圆 。 霍普夫映射有几种描述，也称为霍普夫纤维化。

作为 的子流形，3-球面是

(1)

并且 2-球面是 的子流形，

(2)

霍普夫映射将 3-球面上的点 (, , , ) 映射到 2-球面上的点 (, , )

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2-球面上的每个点都对应于 3-球面上的一个圆，称为霍普夫圆。

通过球极投影，3-球面可以映射到 ，其中无穷远点对应于北极。 作为从 的映射，霍普夫映射可能非常复杂。上面的图表显示了一些原像 ，称为霍普夫圆。 直线红线是通过无穷远的圆。

通过将 与 关联，该映射由 给出，这给出了到黎曼球面的映射。

霍普夫纤维化是一个纤维化

(6)

实际上是一个主丛。 相关的向量丛

(7)

其中

(8)

是 上的复线丛。 实际上，球面上的线丛集合在向量丛张量积下形成一个群，并且丛 生成所有这些线丛。 也就是说，球面上的每个线丛都是 对于某个 。

球面 是单位四元数的李群，并且可以等同于特殊酉群 ，它是 的单连通双重覆盖。 霍普夫丛是商映射 。