六方密堆积

在六方密堆积中，球体层以交替层中的球体彼此重叠的方式堆积。与立方密堆积一样，每个球体都被其他 12 个球体包围。取 13 个这样的球体的集合，得到如上所示的簇。连接外部 12 个球体的中心会得到 Johnson 固体 ，即三角正双圆柱体（triangular orthobicupola）（Steinhaus 1999，pp. 203-205；Wells 1991，p. 237）。

六方密堆积必须提供与立方密堆积相同的堆积密度，因为滑动一层球体不会影响它们占据的体积。为了验证这一点，构建一个包含三层六方晶胞的三维图（Steinhaus 1999，pp. 203-204）。顶部和底部都包含六个 -球体和一个半球。因此，这两行中的球体总数为

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中间行中球体的体积不能简单地用几何方法计算。然而，对称性要求切掉的球体部分恰好被另一侧的额外部分平衡。因此，中间层有三个球体，总共六个，总体积为

(2)

晶胞的底面是由六个边长为 的等边三角形组成的规则六边形。因此，晶胞底面积为

(3)

高度与边长为 的两个四面体的高度相同，因此

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得到

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(Conway 和 Sloane 1993，pp. 7 和 9)。既然开普勒猜想已经成立，六方密堆积和立方密堆积（两者的堆积密度均为 ）被认为是等径球体最密集的堆积方式。

如果我们实际上想要计算六边形棱柱内部和外部球体的体积，我们可以使用球冠方程来获得

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如果允许以立方晶格、面心立方晶格和六方晶格堆积的球体均匀膨胀直到彼此接触，它们将分别形成立方体、六棱柱和菱形十二面体。特别是，如果面心立方堆积的球体膨胀直到填满间隙，它们会形成一个实心菱形十二面体（上图左），如果六方密堆积的球体膨胀，它们会形成第二个不规则十二面体，由六个菱形和六个梯形组成（上图右；Steinhaus 1999，p. 206），称为偏方面菱形十二面体。后者可以通过将前者切成两半并将两半彼此旋转 来获得。旋转后的十二面体的短边和长边的长度分别是菱形面长度的 2/3 和 4/3 倍。 菱形十二面体和偏方面菱形十二面体都是空间填充多面体。