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球冠

SphericalCap

球冠是球体位于给定平面上方（或下方）的区域。如果平面穿过球体的中心，则该冠称为半球，如果该冠被第二个平面切割，则球台称为球段。但是，Harris 和 Stocker (1998) 使用术语“球段”作为此处称为球冠的同义词，而“带”用于球段。

设球体的半径为 R，那么高度为 h 和底面半径为 a 的球冠的体积由球段的公式给出

V_(spherical segment)=1/6pih(3a^2+3b^2+h^2)
(1)

其中 b=0，给出

V_(cap)=1/6pih(3a^2+h^2).
(2)

使用勾股定理得出

(R-h)^2+a^2=R^2,
(3)

可以解出 a^2 为

a^2=2Rh-h^2,
(4)

所以底圆的半径为

a=sqrt(h(2R-h)),
(5)

代入后得到等效公式

V_(cap)=1/3pih^2(3R-h).
(6)

用所谓的接触角（球冠底部球体法线与底面之间的角度）表示

R-h=Rsinalpha
(7)
alpha=sin^(-1)((R-h)/R),
(8)

所以

V_(cap)=1/3piR^3(2-3sinalpha+sin^3alpha).
(9)

几何质心位于距离

z^_=(3(2R-h)^2)/(4(3R-h))
(10)

球体中心上方 (Harris 和 Stocker 1998, p. 107)。

冠高 h 在该高度下，球冠的体积等于半个半球的体积，由下式给出

h_(1/2)=1-2cos(4/9pi).
(11)

考虑一个包围球冠的圆柱形盒子，使盒子的顶部与球体的顶部相切。那么，包围盒子的体积为

V_(box)=pia^2h
(12)
=pi(Rcosalpha)^2[R(1-sinalpha)]
(13)
=piR^3(1-sinalpha-sin^2alpha+sin^3alpha),
(14)

因此，球冠和盒子之间的空心体积由下式给出

V_(box)-V_(cap)=1/3piR^3(1-3sin^2alpha+2sin^3alpha).
(15)

球冠的表面积由与一般带相同的公式给出

S_(cap)=2piRh
(16)
=pi(a^2+h^2).
(17)

另请参阅

接触角, 锥台, 半球, 旋转体, 球体, 球环, 球段, 球楔, 旋转曲面, 球冠穹顶, 带

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参考文献

Harris, J. W. 和 Stocker, H. “球段（球冠）。” §4.8.4 in 数学与计算科学手册。 纽约：Springer-Verlag, p. 107, 1998.Kern, W. F. 和 Bland, J. R. “球段。” §36 in 带证明的立体测量》，第二版。 纽约：Wiley, pp. 97-102, 1948.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. “球冠。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SphericalCap.html

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