线性代数基本定理

给定一个 矩阵 ，线性代数基本定理是关于 的四个基本矩阵子空间的各种性质的一系列结果。 特别是

1. 并且 其中， 表示 的值域或列空间， 表示其转置，并且 表示其零空间。

2. 零空间 与行空间 正交。

3. 列空间 和行空间 都存在标准正交基。

4. 相对于 和 的标准正交基， 是对角矩阵。

此列表中的第三项源于格拉姆-施密特正交化；第四项源于 的奇异值分解。 此外，虽然不同，但第一项让人联想到秩-零化度定理。

上图总结了实 矩阵 的四个基本矩阵子空间之间的一些相互作用，包括所讨论的空间是 还是 的子空间，哪些子空间彼此正交，以及矩阵 如何相对于 所在的子空间映射各种向量 。 该图本质上使上述结果的前两部分可视化。

值得注意的是，这个定理的陈述方式常常不同，并且包含不同数量的部分。 特别是，此定理的常见版本通常仅包括上面给出的前两项，尽管最后两项的重要性通常被认为是证明像上面这样的四部分版本是合理的（Strang 1993）。 一些作者还在陈述本身中包含上述陈述的推论（Badger 2012）。