基本矩阵子空间

给定一个实数 矩阵 ，有四个相关的向量子空间，通常被称为它的基本子空间，即矩阵 的列空间和零空间及其转置 。这四个子空间之所以重要有很多原因，其中之一是它们在所谓的线性代数基本定理中起着至关重要的作用。

上图总结了实数 矩阵 的四个基本矩阵子空间之间的一些相互作用，包括所讨论的空间是 还是 的子空间，哪些子空间彼此正交，以及矩阵 如何相对于 所在的子空间映射各种向量 。

在 m=n=2 的情况下，所有四个基本矩阵子空间都是 中的直线。在这种情况下，对于某些 2×1 向量 ，可以写成 ，由此，这四条直线的方向分别对应于 , , 和 。线性代数中的一个基本事实是，这些方向也由 和 的特征向量表示 (Strang 2008)；这是在许多线性代数基本定理的表述中， 的四个基本子空间经常与 和 的特征值和奇异值分解相关联的原因之一 (Strang 2012)。