奇异值分解

如果矩阵 具有一个不可逆的特征向量矩阵 （例如，矩阵 具有不可逆的特征向量系统 ），则 没有特征分解。然而，如果 是一个 实矩阵，且 ，那么 可以用所谓的奇异值分解 的形式 表示

(1)

请注意，文献中使用了几种相互冲突的符号约定。Press 等人 (1992) 将 定义为 矩阵， 为 矩阵， 为 矩阵。然而，Wolfram 语言 将 定义为 矩阵， 为 矩阵， 为 矩阵。在这两种系统中， 和 都具有 正交 列，因此

(2)

并且

(3)

（其中两个单位矩阵可能具有不同的维度），并且 的项仅沿对角线分布。

对于复矩阵 ，奇异值分解是一种分解为以下形式的分解

(4)

其中 和 是 酉矩阵， 是 的 共轭转置，D 是一个 对角矩阵，其元素是原始矩阵的 奇异值。如果 是一个 复矩阵，那么总是存在这样的分解，且奇异值为正值 (Golub and Van Loan 1996, pp. 70 and 73)。

奇异值分解在 Wolfram 语言 中实现为SingularValueDecomposition[m]，它返回一个列表 U, D, V，其中 U 和 V 是矩阵，D 是由 m 的奇异值组成的对角矩阵。