邪恶数

一个数 ，其小数部分的 位十进制数字之和为 666，被称为邪恶数（Pegg 和 Lomont 2004）。

然而，术语“邪恶”也用于表示二进制展开中 1 的个数为偶数的非负整数，前几个是 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, ... (OEIS A001969)，如上面的二进制图所示。不是邪恶数的数被称为可憎数。

回到 Pegg 对邪恶的定义，Keith 注意到 是邪恶的，而 I. Honig（私人通信，2004 年 5 月 9 日）注意到黄金比例 也是邪恶的。下表列出了一些常见的邪恶数（Pegg 和 Lomont 2004）。

拉马努金常数	132
硬六边形熵常数	137
	139
	140
Stieltjes 常数	142
pi	144
黄金比例	146
	146
	151
Glaisher-Kinkelin 常数	153
立方体线段选取平均长度	155
Delian 常数	156

一个给定实数的数字之和为一个相对较大的正整数的概率大致由数字的个数除以这些数字之和给出，即 。令人惊讶的是，对于和为数字 的概率可以使用递归公式精确计算

			(1)
			(2)

对于 , 2, ...，因此前几个值是 1/9, 10/81, 100/739, 1000/6561, ... (OEIS A100061 和 A100062; Pegg 和 Lomont 2004)，如上图所示。

这个级数的生成函数由下式给出

(3)

(Pegg 和 Lomont 2004)。这允许以闭合形式确定 的表达式，尽管它是一个复杂的表达式，涉及代数数（和多项式根） 的组合。

对于感兴趣的情况 ()，结果是一个有 635 位分子和 636 位分母的有理数，它近似等于

(4)

以下给出了一组“野兽般的邪恶”数字（M. Hudson，私人通信，2004 年 11 月 5-10 日）。

数字	位数
	74
	74
	136
	142
	146
	147
	149
	152
	156
	159
	163
	468
	655
	2018

pi 的邪恶幂包括 的 , 6, 8, 10, 17, 18, 24, 25, 26, 29, 30, 38, ... (M. Hudson，私人通信，2004 年 11 月 8 日)。

简单连分数项之和为一个给定数的类似问题也可以考虑。下表总结了一些常数，它们的连分数的累积和等于 666 (Pegg 和 Lomont 2004)。

常数	项数
立方体线段选取平均长度	50
pi	56
Bloch 常数	58
高斯常数	143
	167
兰道常数的猜想值	173

有趣的是，这使得立方体线段选取平均长度和 双重邪恶。