设正整数的各位数字的平方和为 
表示为 
。以类似的方式，设 
的各位数字的平方和表示为 
，以此类推。
迭代这个各位数字平方和的映射最终总是会达到 0, 1, 4, 16, 20, 37, 42, 58, 89 或 145 这 10 个数字中的一个 (OEIS A039943; Porges 1945)。
如果对于某个 
有 
，那么原始整数 
就被称为快乐数。例如，从 7 开始的序列是 7, 49, 97, 130, 10, 1，所以 7 是一个快乐数。
前几个快乐数是 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, ... (OEIS A007770)。这些数也是其 2-循环数字不变量序列周期为 1 的数。达到 1 所需的迭代次数为 0, 5, 1, 2, 4, 3, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 5, ... (OEIS A090425)。
小于或等于 1, 
, 
, ... 的快乐数的数量由 1, 3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, ... 给出 (OEIS A068571)。
前几个连续的快乐数 
有 
, 129, 192, 262, 301, 319, 367, 391, ... (OEIS A035502)。类似地，前几个快乐三元组以 1880, 4780, 4870, 7480, 7839, ... 开头 (OEIS A072494)。
前几个快乐素数是 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, ... (OEIS A035497)。
一旦知道一个数是否是快乐数（或不快乐数），那么序列 
, 
, 
, ... 中的任何数也将是快乐数（或不快乐数）。不快乐数被称为不快乐数。不快乐数具有永不达到 1 的最终周期性序列 
。
