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高斯常数

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1 和 sqrt(2) 的算术-几何平均数的倒数，

G=2/piint_0^11/(sqrt(1-x^4))dx
(1)
=2/piint_0^(pi/2)(dtheta)/(sqrt(1+sin^2theta))
(2)
=L/pi
(3)
=1/(M(1,sqrt(2)))
(4)
=(2K(-1))/pi
(5)
=(sqrt(2))/piK(1/(sqrt(2)))
(6)
=theta_4^2(e^(-pi))
(7)
=(2pi)^(-3/2)[Gamma(1/4)]^2
(8)
=3/(2R_D(0,2,1))
(9)
=(2R_F(0,1,2))/pi
(10)
=R_K(1,2)
(11)
=0.83462684167...
(12)

(OEIS A014549)，其中 L 是lemniscate 常数，K(k) 是第一类完全椭圆积分，theta_4(q) 是 Jacobi theta 函数，Gamma(z) 是 gamma 函数，并且 R_D、R_F、R_K 是 Carlson 椭圆积分。高斯首先注意到这种对应关系，并且这是他探索 lemniscate 函数 的基础（Borwein 和 Bailey 2003，第 13-15 页）。

给出两个快速收敛的 G 的级数：

G=[sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^ne^(-pin^2)]^2
(13)
=2^(5/4)e^(-pi/3)[sum_(n=-infty)^(infty)(-1)^ne^(-2pi(3n+1)n)]^2
(14)

(Finch 2003，第 421 页)。

高斯常数的连分数为 [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...] (OEIS A053002)。

高斯常数的倒数由下式给出

M=1/G=1.1981402347355922074399...
(15)

(OEIS A053004；Finch 2003，第 420 页；Borwein 和 Bailey 2003，第 13 页)，其连分数为 [1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, ...] (OEIS A053003)。

值

M/(sqrt(2))=0.847213...
(16)

(OEIS A097057) 有时被称为普遍常数 (Spanier 和 Oldham 1987；Schroeder 1994；Finch 2003，第 421 页)，并且

M/2=0.599070...
(17)

(OEIS A076390) 有时被称为第二lemniscate 常数 (Finch 2003，第 421 页)。

高斯常数 G 和 M 与 lemniscate 常数 L 的关系为：

L=piG
(18)
=pi/M
(19)

(Finch 2003，第 420 页)。

参见

算术-几何平均数, Gauss-Kuzmin-Wirsing 常数, Lemniscate 常数, Lemniscate 函数, 毕达哥拉斯常数

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参考文献

Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 5, 1987.Borwein, J. 和 Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Goldman, J. R. The Queen of Mathematics: An Historically Motivated Guide to Number Theory. Wellesley, MA: A K Peters, p. 92, 1997.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Gosper, R. W. "A Calculus of Series Rearrangements." In Algorithms and Complexity: New Directions and Recent Results. Proc. 1976 Carnegie-Mellon Conference (Ed. J. F. Traub). New York: Academic Press, pp. 121-151, 1976.Lewanowicz, S. 和 Paszowski, S. "An Analytic Method for Convergence Acceleration of Certain Hypergeometric Series." Math. Comput. 64, 691-713, 1995.Schroeder, M. "How Probable is Fermat's Last Theorem?" Math. Intell. 16, 19-20, 1994.Sloane, N. J. A. Sequences A014549, A053002, A053003, A053004, A076390, 以及 A097057 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "The Kelvin Functions." Ch. 55 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, 1987.Todd, J. "The Lemniscate Constant." Comm. ACM 18, 14-19 和 462, 1975.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

高斯常数

引用为

Weisstein, Eric W. "Gauss's Constant." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GausssConstant.html

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