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布洛赫常数

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令 F 为 复 解析函数 f 的集合，这些函数定义在包含 闭集 的 单位圆盘 D={z:|z|<1} 的开区域上，并满足 f(0)=0 和 df/dz(0)=1。对于 f 中的每个函数 F，令 b(f) 为所有数 r 的上确界，使得在 D 中存在一个子区域 S，函数 f 在 S 上是单射的，并且 f(S) 包含一个半径为 r 的圆盘。在 1925 年，Bloch (Conway 1989) 证明了 b(f)>=1/72。

布洛赫常数定义为

B=inf{b(f):f in F}.
(1)

Ahlfors 和 Grunsky (1937) 推导出

1/4sqrt(3)<=B<1/(sqrt(1+sqrt(3)))(Gamma(1/3)Gamma((11)/(12)))/(Gamma(1/4)).
(2)

Bonk (1990) 证明了 B>=sqrt(3)/4+10^(-14)，随后被改进为 B>=sqrt(3)/4+2×10^(-4) (Chen and Gauthier 1996; Xiong 1998; Finch 2003, p. 456)。

Ahlfors 和 Grunsky (1937) 也推测上限实际上是 B 的值，

B=1/(sqrt(1+sqrt(3)))(Gamma(1/3)Gamma((11)/(12)))/(Gamma(1/4))
(3)
=sqrt(pi)2^(1/4)(Gamma(1/3))/(Gamma(1/4))sqrt((Gamma((11)/(12)))/(Gamma(1/(12))))
(4)
=0.4718617...
(5)

(OEIS A085508; Le Lionnais 1983)。

参见

Landau 常数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Ahlfors, L. V. 和 Grunsky, H. “关于布洛赫常数。” Math. Zeit. 42, 671-673, 1937.Bonk, M. “关于布洛赫常数。” Proc. Amer. Math. Soc. 110, 889-894, 1990.Chen, H. 和 Gauthier, P. M. “关于布洛赫常数。” J. d'Analyse Math. 69, 275-291, 1996.Conway, J. B. 单复变函数 I，第二版 New York: Springer-Verlag, 1989.Finch, S. R. “布洛赫-朗道常数。” §7.1 在 数学常数 中。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 456-459, 2003.Le Lionnais, F. 卓越的数 Paris: Hermann, p. 25, 1983.Minda, C. D. “布洛赫常数。” J. d'Analyse Math. 41, 54-84, 1982.Sloane, N. J. A. 序列 A085508 在 “整数数列线上百科全书” 中。Xiong, C. “布洛赫常数的下界。” 南京大学学报数学半年刊 15, 174-179, 1998.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

布洛赫常数

引用为

Weisstein, Eric W. “布洛赫常数。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BlochConstant.html

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