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二面体群 D_3

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二面体群 D_3 是 群阶 为 6 的两个不同抽象群的特例之一。与 循环群 C_6（它是阿贝尔群）不同，D_3 是非阿贝尔群。事实上，D_3 是群阶最小的非阿贝尔群。

D_3 的例子包括称为 C_(3h)、C_(3v)、S_3、D_3 的点群、等边三角形的对称群（Arfken 1985，第 246 页）以及三个对象的 置换群（Arfken 1985，第 249 页）。

CycleGraphD3

上面显示了 D_3 的圈图。D_3 的循环指标由下式给出

Z(D_3)=1/6x_1^3+1/2x_2x_1+1/3x_3.
(1)
DihedralGroupD3Table

其乘法表如上所示并在下面列出，其中 1 表示单位元。 (Arfken 1985，第 247 页) 和 Cotton (1990，第 12 页) 给出了等价但略有不同的形式，后者用 G_6^((2)) 表示 D_3 的抽象群。

D_31ABCDE
11ABCDE
AAB1DEC
BB1AECD
CCED1BA
DDCEA1B
EEDCBA1

与所有二面体群一样，使用 实矩阵 的可约二维表示具有由 S 和 R 给出的生成元，其中 S 是绕通过正 n-边形中心和其中一个顶点的轴旋转 pi 弧度，R 是绕 n-边形中心旋转 2pi/n。上面的乘法表对应于以下矩阵

1=S^0R^0=[1 0; 0 1]
(2)
A=S^0R^1=[-1/2 -1/2sqrt(3); 1/2sqrt(3) -1/2]
(3)
B=S^0R^2=[-1/2 1/2sqrt(3); -1/2sqrt(3) -1/2]
(4)
C=S^1R^1=[1/2 1/2sqrt(3); 1/2sqrt(3) -1/2]
(5)
D=S^1R^0=[-1 0; 0 1]
(6)
E=S^1R^2=[1/2 -1/2sqrt(3); -1/2sqrt(3) -1/2].
(7)

D_3 的元素 X=1、C、D 和 E 满足 X^2=1，元素 X=1、A 和 B 满足 X^3=1，元素 X=1、C、D 和 E 满足 X^4=1，并且所有元素都满足 X^6=1。

共轭类为 {1}、{A,B} 和 {C,D,E}。D_3 有 6 个子群：{1}、{1,C}、{1,D}、{1,E}、{1,A,B} 和 {1,A,B,C,D,E}。其中，子群 {1}、{1,A,B} 和 {1,A,B,C,D,E} 是正规子群

要找到不可约表示，请注意有三个共轭类。不可约表示的第五条规则要求有三个不可约表示，第二条规则要求

h=l_1^2+l_2^2+l_3^2=6,
(8)

所以一定是真的

l_1=l_2=1,l_3=2.
(9)

根据规则 6，我们可以让第一个表示都为 1。

D_31ABCDE
Gamma_1111111

为了找到与完全对称表示正交的表示，我们必须有三个 +1 和三个 -1 群特征标。我们还可以添加约束条件，即单位元 1 的分量为正。这三个共轭类分别有 1、2 和 3 个元素。由于我们需要总共三个 +1，并且我们已要求 阶为 1 的共轭类出现 +1，因此剩余的 +1 必须用于阶为 2 的共轭类的元素，即 D 和 E。

D_31ABCDE
Gamma_1111111
Gamma_21-1-1-111

使用群规则 1，我们看到

1^2+1^2+chi_3^2(1)=6,
(10)

因此，1 的最终表示具有群特征标 2。然后，与前两个表示的（群规则 3）正交性产生以下约束

1·1·2+1·2·chi_2+1·3·chi_3=2+2chi_2+3chi_3=0
(11)
1·1·2+1·2·chi_2+(-1)·3·chi_3=2+2chi_2-3chi_3=0.
(12)

通过将 (12) 从 (11) 中相加和相减来解这些联立方程，我们得到 chi_2=-1，chi_3=0。完整的特征标表是

D_31ABCDE
Gamma_1111111
Gamma_21-1-1-111
Gamma_32000-1-1

由于只有三个共轭类，因此此表通常简写为

D_31A=B=CD=E
Gamma_1111
Gamma_21-11
Gamma_320-1

然后以矩阵形式写出不可约表示，得到

1=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]
(13)
A=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1/2 -1/2sqrt(3); 0 0 1/2sqrt(3) -1/2]
(14)
B=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 -1/2 1/2sqrt(3); 0 0 -1/2sqrt(3) -1/2]
(15)
C=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1]
(16)
D=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1/2 -1/2sqrt(3); 0 0 -1/2sqrt(3) -1/2]
(17)
E=[1 0 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1/2 1/2sqrt(3); 0 0 1/2sqrt(3) -1/2].
(18)

另请参阅

循环群 C6, 二面体群, 二面体群 D4

使用 探索

参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 246-248, 1985.Cotton, F. A. Chemical Applications of Group Theory, 3rd ed. New York: Wiley, 1990.

请引用为

Weisstein, Eric W. "二面体群 D_3。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DihedralGroupD3.html

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