主题
Search

莫茨金数

下载 Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
MotzkinNumber

莫茨金数枚举了各种组合对象。Donaghey 和 Shapiro (1977) 给出了这些数的 14 种不同表现形式。特别地，他们给出了从 (0, 0) 到 (n, 0) 且永不低于 y=0 并仅由步长 (1, 0), (1, 1) 和 (1, -1) 组成的路径的数量，即 ->, -> 和 ->。

前几个数是 1, 2, 4, 9, 21, 51, ... (OEIS A001006)。对于 n=0, 1, ...，M_(10^n) 的十进制位数是 1, 4, 45, 473, 4766, 47705, 477113, ... (OEIS A114473)，其中位数接近 log_(10)3=0.4771212547... 的位数 (OEIS A114490)。

前几个素数莫茨金数是 2, 127, 15511, 953467954114363, ... (OEIS A092832)，它们对应的索引是 2, 7, 12, 36, ... (OEIS A092831)，且对于 n<=263000 没有其他素数莫茨金数 (Weisstein, 2005 年 3 月 29 日)。

莫茨金数生成函数 M(x) 满足

M=1+xM+x^2M^2
(1)

并由下式给出

M(x)=(1-x-sqrt(1-2x-3x^2))/(2x^2)
(2)
=2/(1-x+sqrt(1-2x-3x^2))
(3)
=1+x+2x^2+4x^3+9x^4+21x^5+....
(4)

M(x) 因此，M(x) 由连分数给出

M(x)=1/(1-x-(x^2)/(1-x-(x^2)/(1-x-(x^2)/...)))
(5)

(M. Somos, 私人通讯, 2006 年 4 月 15 日)。

它们由递推关系给出

M_n=(3(n-1)M_(n-2)+(2n+1)M_(n-1))/(n+2)
(6)

其中 M_0=M_1=1，以及嵌套递推关系

M_n=M_(n-1)+sum_(k=0)^(n-2)M_kM_(n-2-k)
(7)

其中 M_0=1。

莫茨金数 M_n 也由下式给出

M_n=-1/2sum_(a=0)^(n+2)(-3)^k(1/2; a)(1/2; b)
(8)
=((-1)^(n+1))/(2^(2n+5))sum_(a=0)^(n+2)((-3)^a)/((2a-1)(2b-1))(2a; a)(2b; b)
(9)
=_2F_1(1/2(1-n),-1/2n;2;4)
(10)
=1/(n+1)(n+1; 1)_2
(11)
=-(sqrt(pi)_2F^~_1(-1/2,-n-2;-n-1/2;-3))/(4Gamma(n+3))
(12)
=(i^n3^(n/2))/2[3P_n(-1/3isqrt(3))+2isqrt(3)P_(n+1)(-1/3isqrt(3))+3P_(n+2)(-1/3isqrt(3))],
(13)

其中 b=n+2-a, (n; k) 是二项式系数, (n; k)_2 是三项式系数, _2F_1(a,b;c;z) 是超几何函数, _2F^~_1(a,b;c;z) 是正则化超几何函数, Gamma(z) 是伽玛函数, 而 P_n(z) 是勒让德多项式。

另请参阅

卡塔兰数, 德兰诺数, 整数序列素数, 施罗德数, 三项式系数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Barcucci, E.; Pinzani, R.; and Sprugnoli, R. "The Motzkin Family." Pure Math. Appl. Ser. A 2, 249-279, 1991.Dickau, R. M. "Delannoy and Motzkin Numbers." http://www.prairienet.org/~pops/delannoy.html.Donaghey, R. "Restricted Plane Tree Representations of Four Motzkin-Catalan Equations." J. Combin. Th. Ser. B 22, 114-121, 1977.Donaghey, R. and Shapiro, L. W. "Motzkin Numbers." J. Combin. Th. Ser. A 23, 291-301, 1977.Kuznetsov, A.; Pak, I.; and Postnikov, A. "Trees Associated with the Motzkin Numbers." J. Combin. Th. Ser. A 76, 145-147, 1996.Motzkin, T. "Relations Between Hypersurface Cross Ratios, and a Combinatorial Formula for Partitions of a Polygon, for Permanent Preponderance, and for Nonassociative Products." Bull. Amer. Math. Soc. 54, 352-360, 1948.Sloane, N. J. A. Sequences A001006/M1184, A092831, A092832, A114473, and A114490 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

莫茨金数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Motzkin Number." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MotzkinNumber.html

主题分类