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谢尔宾斯基地毯

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SierpinskiCarpet

谢尔宾斯基地毯是如上所示的分形，它可以类似于谢尔宾斯基筛子构建，但使用正方形而不是三角形。它可以使用字符串重写构建，从一个单元格 [1] 开始并迭代规则

{0->[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0],1->[1 1 1; 1 0 1; 1 1 1]}.
(1)

谢尔宾斯基地毯的第 n 次迭代在 Wolfram 语言中实现为MengerMesh[n].

设 N_n 为黑色方块的数量，L_n 为白色方块边长，A_n 为第 n 次迭代后黑色方块的分数面积。则

N_n=8^n
(2)
L_n=3^(-n)
(3)
A_n=L_n^2N_n
(4)
=(8/9)^n.
(5)

因此，经过 n=0, 1, 2, ... 次迭代后，黑色单元格的数量分别为 1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, ... (OEIS A001018)。因此，容量维度为

d_(cap)=-lim_(n->infty)(lnN_n)/(lnL_n)
(6)
=log_38
(7)
=(3ln2)/(ln3)
(8)
=1.892789260...
(9)

(OEIS A113210)。

另请参阅

盒形分形, 康托尘, 康托正方形分形, 德兰诺数, 哈弗曼地毯, 门格海绵, 谢尔宾斯基地毯图, 谢尔宾斯基筛子

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参考文献

Allouche, J.-P. 和 Shallit, J. "谢尔宾斯基地毯。" §14.1 in Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 405-407, 2003.Broden, J.; Espinosa, M.; Nazareth, N.; 和 Voth, N. "分形内部的结。" 2024 年 9 月 5 日。 https://arxiv.org/abs/2409.03639.Dickau, R. M. "谢尔宾斯基地毯。" http://mathforum.org/advanced/robertd/carpet.html.Gleick, J. 混沌：创建一门新科学。 New York: Penguin Books, p. 101, 1988.Mandelbrot, B. B. 大自然的分形几何。 New York: W. H. Freeman, p. 144, 1983.Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; 和 Saupe, D. 混沌与分形：科学的新前沿。 New York: Springer-Verlag, p. 144, 1992.Reiter, C. A. "谢尔宾斯基分形和 GCD。" Computers and Graphics 18, 885-891, 1994.Sierpiński, W. "关于包含任何给定曲线图像的曲线。" Mat. Sbornik 30, 267-287, 1916. Reprinted in Oeuvres Choisies, Vol. 2, pp. 107-119.Sloane, N. J. A. 序列 A001018 和 A113210 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中引用

谢尔宾斯基地毯

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "谢尔宾斯基地毯。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/SierpinskiCarpet.html

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