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圆柱楔形

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CylindricalWedgeSchem
CylindricalWedge

圆柱楔形，也称为圆柱蹄或圆柱楔形体，是从圆柱体上切割下来的楔形，切割方式是用一个平面相交圆柱体的底面。圆柱楔形的体积可以通过注意到切割圆柱体的平面穿过上面所示的三个点（其中 b>R），因此平面的三点形式给出了方程

|x y z 1; R-b a 0 1; R-b -a 0 1; R 0 h 1|=h(R-b-x)+bz
(1)
=0.
(2)

求解 z 得出

z=(h(x-R+b))/b.
(3)

这里，a 的值由下式给出

a=sqrt(R^2-(b-R)^2)
(4)
=sqrt(b(2R-b)).
(5)
CylindricalWedgeVolume

因此，体积由沿 x 轴的矩形区域上的积分给出，

V=intz(x)y(x)dx =2int_(R-b)^R(h(x-R+b))/bsqrt(R^2-x^2)dx =h/(6b)[2sqrt((2R-b)b)(3R^2-2ab+b^2)-3piR^2(R-b)+6R^2(R-b)sin^(-1)((R-b)/R)].
(6)

使用恒等式

a=Rsinphi
(7)
b=R(1-cosphi)
(8)
b^2=2bR-a^2
(9)
phi=1/2pi+tan^(-1)((b-R)/a)
(10)

给出等价的替代形式

V=h/(3b)[a(3R^2-a^2)+3R^2(b-R)phi]
(11)
=(hR^2)/3((3sinphi-3phicosphi-sin^3phi)/(1-cosphi))
(12)

（Harris 和 Stocker 1998, p. 104）。在 a=b=R 的情况下，这简化为

V=2/3hR^2.
(13)

侧面表面积可以从下式求得

S_L=2Rint_0^phiz(theta)dtheta
(14)

其中 z(theta) 只是 z(x) 在 x=Rcostheta 的情况下，所以

S_L=2Rint_0^phi(h(b-R+Rcostheta))/bdtheta
(15)
=(2hR)/b{sqrt(2bR-b^2)+(b-R)×[1/2pi+tan^(-1)((b-R)/(sqrt(2bR-b^2)))]}
(16)
=(2hR)/b[a+(b-R)phi]
(17)
=2hR((sinphi-phicosphi)/(1-cosphi))
(18)

（Harris 和 Stocker 1998, p. 104）。

CylindricalHoof

圆柱楔形的一个特例，可以称为半圆柱楔形，是穿过底面直径的楔形（因此 a=b=R）。设这个楔形的高度为 h，切割它的圆柱体的半径为 r。然后将点 (0,-R,0)、(0,R,0) 和 (R,0,h) 代入平面的 3 点方程，得到平面的方程为

hx-Rz=0.
(19)

将它与描述圆柱体剩余弯曲部分的圆的方程结合起来（并写成 t=x），然后给出楔形的“舌形”的参数方程为

x=t
(20)
y=+/-sqrt(R^2-t^2)
(21)
z=(ht)/R
(22)

对于 t in [0,R]。为了检查舌形的形状，需要将其旋转到一个方便的平面。这可以通过首先使用旋转矩阵 R_x(90 degrees) 将曲线平面绕 x 轴旋转 90 degrees，然后再按 角度

theta=tan^(-1)(h/R)
(23)

在 z 轴上方。变换后的平面现在位于 xz 平面中，并具有参数方程

x=(tsqrt(h^2+R^2))/R
(24)
z=+/-sqrt(R^2-t^2)
(25)

如下所示。

CylindricalWedgeTongue

舌形的长度（沿其中心测量）是通过将 t=R 代入上述 x 的方程获得的，结果变为

L=sqrt(h^2+R^2)
(26)

（这可以直接从勾股定理得出）。

正如从一般圆柱楔形的情况确定的，半圆柱蹄的体积由下式给出

V_S=2/3R^2h
(27)

而侧面表面积由下式给出

S_L=2Rh.
(28)

体积由 Gregory of St. Vincent (1647) 发现。

虽然一般圆柱楔形的质心对于 R!=b 来说很复杂，

x^_=int_(R-b)^Rint_(-sqrt(R^2-x^2))^(sqrt(R^2-x^2))int_0^(h(b-R+x)/b)xdzdydx,
(29)

对于半圆柱楔形，质心由下式给出

x^_=int_0^Rint_(-sqrt(R^2-x^2))^(sqrt(R^2-x^2))int_0^(hx/R)xdzdydx,
(30)

给出

<x>=3/(16)piR
(31)
<y>=0
(32)
<z>=3/(32)pih.
(33)

另请参阅

圆柱截面, 圆柱蹄, 圆柱段, 普吕克圆锥曲面, 楔形体, 楔形

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参考文献

Gregory of St. Vincent. Opus Geometricum quadraturae circuli et sectionum coni. 1647.Harris, J. W. and Stocker, H. "Obliquely Cut Circular Cylinder" and "Segment of a Cylinder." §4.6.3-4.6.4 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 103-104, 1998.Kern, W. F. and Bland, J. R. "Truncated Prism (or Cylinder)." §31 in Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 81-83 and 127, 1948.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

圆柱楔形

请引用为

Weisstein, Eric W. "圆柱楔形。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CylindricalWedge.html

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