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圆内接六边形

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一个六边形（不必是正六边形），其多边形顶点可以圆外接。设

sigma_i=Pi_i(a_1^2,a_2^2,a_3^2,a_4^2,a_5^2,a_6^2)
(1)

表示由六边形边长 a_i 的平方 a_i^2 组成的六个变量上的 i 阶对称多项式，因此

sigma_1=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2
(2)
sigma_2=a_1^2a_2^2+a_1^2a_3^2+a_1^2a_4^2+a_1^2a_5^2+a_1^2a_6^2+a_2^2a_3^2+a_2^2a_4^2+a_2^2a_5^2+a_2^2a_6^2+a_3^2a_4^2+a_3^2a_5^2+a_3^2a_6^2+a_4^2a_5^2+a_4^2a_6^2+a_5^2a_6^2
(3)
sigma_3=a_1^2a_2^2a_3^2+a_1^2a_2^2a_4^2+a_1^2a_2^2a_5^2+a_1^2a_2^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_4^2+a_2^2a_3^2a_5^2+a_2^2a_3^2a_6^2+a_3^2a_4^2a_5^2+a_3^2a_4^2a_6^2+a_4^2a_5^2a_6^2
(4)
sigma_4=a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_5^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_6^2+a_1^2a_3^2a_4^2a_5^2+a_1^2a_3^2a_4^2a_6^2+a_1^2a_3^2a_5^2a_6^2+a_1^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2+a_2^2a_3^2a_4^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_5^2a_6^2+a_2^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2
(5)
sigma_5=a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2a_6^2+a_1^2a_2^2a_3^2a_5^2a_6^2+a_1^2a_2^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_1^2a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2+a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2
(6)
sigma_6=a_1^2a_2^2a_3^2a_4^2a_5^2a_6^2.
(7)

然后令 K 为六边形的面积并定义

u=16K^2
(8)
t_2=u-4sigma_2+sigma_1^2
(9)
t_3=8sigma_3+sigma_1t_2-16sqrt(sigma_6)
(10)
t_4=t_2^2-64sigma_4+64sigma_1sqrt(sigma_6)
(11)
t_5=128sigma_5+32t_2sqrt(sigma_6).
(12)

六边形的面积然后满足

ut_4^3+t_3^2t_4^2-16t_3^3t_5-18ut_3t_4t_5-27u^2t_5^2=0,
(13)

或将此方程中的 sqrt(sigma_6) 替换为 -sqrt(sigma_6) 的方程，这是一个关于 u 的七阶多项式。这是 1/(4u^2) 乘以 三次方程的多项式判别式

z^3+2t_3z^2-ut_4z+2u^2t_5.
(14)

另请参阅

共圆, 圆内接五边形, 圆内接多边形, 圆内接四边形, Fuhrmann 定理, Lemoine 六边形

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参考文献

Robbins, D. P. "圆内接多边形的面积。" Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.Robbins, D. P. "圆内接多边形的面积。" Amer. Math. Monthly 102, 523-530, 1995.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

圆内接六边形

请引用为

Weisstein, Eric W. "圆内接六边形。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CyclicHexagon.html

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