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三次公式

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三次公式是三次方程的闭式解，即三次多项式的根。一个一般的三次方程的形式为

z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0
(1)

（系数 a_3，即 z^3 的系数，可以通过将整个方程除以 a_3 而不妨假设为 1）。Wolfram 语言可以使用内置命令精确地解三次方程Solve[a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 == 0, x]。该解也可以用 Wolfram 语言代数根对象来表示，首先发出命令SetOptions[Roots, Cubics -> False].

三次方程（以及四次方程）的解是由 Gerolamo Cardano (1501-1576) 在其著作 Ars Magna 中发表的。然而，Cardano 并非这些结果的最初发现者。三次方程的提示是由 Niccolò Tartaglia 提供的，而四次方程是由 Ludovico Ferrari 解出的。然而，Tartaglia 本人可能从其他来源得知了该解法。这个解法显然最初是由博洛尼亚大学一位鲜为人知的数学教授 Scipione del Ferro (约 1465-1526) 得出的。虽然 del Ferro 没有发表他的解法，但他将其透露给了他的学生 Antonio Maria Fior (Boyer 和 Merzbach 1991, p. 283)。显然 Tartaglia 在 1541 年左右从这里得知了解法。

为了解一般的三次方程 (1)，合理的开始是尝试通过进行形式为的替换来消除 a_2 项

z=x-lambda.
(2)

然后

(x-lambda)^3+a_2(x-lambda)^2+a_1(x-lambda)+a_0=0
(3)
(x^3-3lambdax^2+3lambda^2x-lambda^3)+a_2(x^2-2lambdax+lambda^2)+a_1(x-lambda)+a_0=0
(4)
x^3+(a_2-3lambda)x^2+(a_1-2a_2lambda+3lambda^2)x+(a_0-a_1lambda+a_2lambda^2-lambda^3)=0.
(5)

通过令 lambda=a_2/3，x^2 项被消去，因此

z=x-1/3a_2.
(6)

然后

z^3=(x-1/3a_2)^3=x^3-a_2x^2+1/3a_2^2x-1/(27)a_2^3
(7)
a_2z^2=a_2(x-1/3a_2)^2=a_2x^2-2/3a_2^2x+1/9a_2^3
(8)
a_1z=a_1(x-1/3a_2)=a_1x-1/3a_1a_2,
(9)

因此方程 (◇) 变为

x^3+(-a_2+a_2)x^2+(1/3a_2^2-2/3a_2^2+a_1)x-(1/(27)a_2^3-1/9a_2^3+1/3a_1a_2-a_0)=0
(10)
x^3+(a_1-1/3a_2^2)x-(1/3a_1a_2-2/(27)a_2^3-a_0)=0
(11)
x^3+3·(3a_1-a_2^2)/9x-2·(9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(54)=0.
(12)

定义

p=(3a_1-a_2^2)/3
(13)
q=(9a_1a_2-27a_0-2a_2^3)/(27)
(14)

然后使得 (◇) 可以写成标准形式

x^3+px=q.
(15)

最简单的方法是进行 韦达替换

x=w-p/(3w),
(16)

这会将三次方程简化为方程

w^3-(p^3)/(27w^3)-q=0,
(17)

通过乘以 w^3 可以很容易地转化为关于 w^3 的二次方程，得到

(w^3)^2-q(w^3)-1/(27)p^3=0
(18)

(Birkhoff 和 Mac Lane 1996, p. 106)。来自二次公式的结果是

w^3=1/2(q+/-sqrt(q^2+4/(27)p^3))
(19)
=1/2q+/-sqrt(1/4q^2+1/(27)p^3)
(20)
=R+/-sqrt(R^2+Q^3),
(21)

其中 Q 和 R 有时比 p 和 q 更便于处理。因此，对于 w 有六个解（对于 w^3 的每个根，对应于两个符号）。将 w 代回 (19) 得到三对解，但每对解都相等，因此三次方程有三个解。

方程 (◇) 也可以通过尝试从三次方程中提取 形式为 (x-B) 的项来进行显式分解，从而留下一个二次方程，然后可以使用二次公式进行分解。这个过程等价于进行韦达替换，但在激发韦达的“神奇”替换以及生成解的显式公式方面做得稍好一些。首先，定义中间变量

Q=(3a_1-a_2^2)/9
(22)
R=(9a_2a_1-27a_0-2a_2^3)/(54)
(23)

（它们与 p 和 q 在常数因子内相同）。然后，一般三次方程 (◇) 变为

x^3+3Qx-2R=0.
(24)

设 B 和 C 暂时为任意常数。完全立方多项式方程满足的恒等式是

x^3-B^3=(x-B)(x^2+Bx+B^2).
(25)

因此，如果一般三次方程没有 x 项（即如果 Q=0），则可以直接分解。但是，由于通常 Q!=0，在 (25) 的两边都加上 (x-B) 的倍数——比如 C(x-B)——得到稍微复杂的恒等式

(x^3-B^3)+C(x-B)=(x-B)(x^2+Bx+B^2+C)=0,
(26)

重新组合项后，即为

x^3+Cx-(B^3+BC)=(x-B)[x^2+Bx+(B^2+C)]=0.
(27)

现在我们想匹配 系数 C 和 -(B^3+BC) 与方程 (◇) 的系数，因此我们必须有

C=3Q
(28)
B^3+BC=2R.
(29)

将前者代入后者，得到

B^3+3QB=2R.
(30)

因此，如果我们能找到一个满足上述恒等式的 B 值，我们就从三次方程中分解出一个线性项，从而将其简化为二次方程。实现这一奇迹的试探解是以下对称表达式

B=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3).
(31)

对 B 取二次方和三次方得到

B^2=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(32)
=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2Q
(33)
B^3=-2QB+{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)}×{[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)}
(34)
=[R+sqrt(Q^3+R^2)]+[R-sqrt(Q^3+R^2)]+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-2QB
(35)
=-2QB+2R+[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)×[(R+sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)+(R-sqrt(Q^3+R^2))^(1/3)]
(36)
=-2QB+2R-QB
(37)
=-3QB+2R.
(38)

将 B^3 和 B 代入 (◇) 的左侧得到

(-3QB+2R)+3QB=2R,
(39)

因此我们确实找到了 (◇) 的因子 (x-B)，现在我们只需要分解二次部分。将 C=3Q 代入 (◇) 的二次部分并求解得到的

x^2+Bx+(B^2+3Q)=0
(40)

然后得到解

x=1/2[-B+/-sqrt(B^2-4(B^2+3Q))]
(41)
=-1/2B+/-1/2sqrt(-3B^2-12Q)
(42)
=-1/2B+/-1/2sqrt(3)isqrt(B^2+4Q).
(43)

这些可以通过定义来简化

A=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)-[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(1/3)
(44)
A^2=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)-2[R^2-(Q^3+R^2)]^(1/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)
(45)
=[R+sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+[R-sqrt(Q^3+R^2)]^(2/3)+2Q
(46)
=B^2+4Q,
(47)

这样，二次部分的解可以写成

x=-1/2B+/-1/2sqrt(3)iA.
(48)

定义

D=Q^3+R^2
(49)
S=RadicalBox[{R, +, {sqrt(, D, )}}, 3]
(50)
T=RadicalBox[{R, -, {sqrt(, D, )}}, 3],
(51)

其中 D 是多项式判别式（Birkhoff 和 Mac Lane 1996 对其定义略有不同，包括相反的符号），然后给出 A 和 B 的非常简单的表达式，即

B=S+T
(52)
A=S-T.
(53)

因此，最后，z 的原始方程的根由下式给出

z_1=-1/3a_2+(S+T)
(54)
z_2=-1/3a_2-1/2(S+T)+1/2isqrt(3)(S-T)
(55)
z_3=-1/3a_2-1/2(S+T)-1/2isqrt(3)(S-T),
(56)

其中 a_2 是原始方程中 z^2 的系数，S 和 T 如上定义。这三个给出三次方程的三个根的方程有时被称为卡尔达诺公式。请注意，如果方程是韦达的标准形式

x^3+px=q,
(57)

在变量 x 中，则 a_2=0，a_1=p，且 a_0=-q，中间变量具有简单的形式（参见 Beyer 1987）

Q=1/3p
(58)
R=1/2q
(59)
D=Q^3+R^2=(p/3)^3+(q/2)^2.
(60)

解满足韦达公式

z_1+z_2+z_3=-a_2
(61)
z_1z_2+z_2z_3+z_1z_3=a_1
(62)
z_1z_2z_3=-a_0.
(63)

在标准形式 (◇) 中，a_2=0，a_1=p，且 a_0=-q，因此消除 q 得到

p=-(z_i^2+z_iz_j+z_j^2)
(64)

对于 i!=j，消除 p 得到

q=-z_iz_j(z_i+z_j)
(65)

对于 i!=j。此外，出现在韦达公式中的对称多项式的性质给出

z_1^2+z_2^2+z_3^2=-2p
(66)
z_1^3+z_2^3+z_3^3=3q
(67)
z_1^4+z_2^4+z_3^4=2p^2
(68)
z_1^5+z_2^5+z_3^5=-5pq.
(69)

卡尔达诺公式中 z_1 的方程没有显式出现的 i，而 z_2 和 z_3 则有，但这并不能说明实根和复根的数量（因为 S 和 T 本身通常是复数）。但是，可以通过注意到，如果多项式判别式 D>0，则一个根是实数，两个是复共轭；如果 D=0，则所有根都是实数，并且至少有两个相等；如果 D<0，则所有根都是实数且不相等。如果 D<0，定义

theta=cos^(-1)(R/(sqrt(-Q^3))).
(70)

那么实解是形式为

z_1=2sqrt(-Q)cos(theta/3)-1/3a_2
(71)
z_2=2sqrt(-Q)cos((theta+2pi)/3)-1/3a_2
(72)
z_3=2sqrt(-Q)cos((theta+4pi)/3)-1/3a_2.
(73)

这个过程可以推广到找到标准形式 (◇) 的任何方程的实根，方法是使用恒等式

sin^3theta-3/4sintheta+1/4sin(3theta)=0
(74)

（Dickson 1914）并设置

x=sqrt((4|p|)/3)y
(75)

（Birkhoff 和 Mac Lane 1996, pp. 90-91），然后

((4|p|)/3)^(3/2)y^3+psqrt((4|p|)/3)y=q
(76)
y^3+3/4p/(|p|)y=(3/(4|p|))^(3/2)q
(77)
4y^3+3sgn(p)y=1/2q(3/(|p|))^(3/2)=C.
(78)

如果 p>0，则使用

sinh(3theta)=4sinh^3theta+3sinhtheta
(79)

得到

y=sinh(1/3sinh^(-1)C).
(80)

如果 p<0 且 |C|>=1，使用

cosh(3theta)=4cosh^3theta-3coshtheta,
(81)

如果 p<0 且 |C|<=1，使用

cos(3theta)=4cos^3theta-3costheta,
(82)

得到

y={cosh(1/3cosh^(-1)C) for C>=1; -cosh(1/3cosh^(-1)|C|) for C<=-1; cos(1/3cos^(-1)C) [three solutions] for |C|<1.
(83)

原始方程的解是

x_i=2sqrt((|p|)/3)y_i-1/3a_2.
(84)

求解三次方程的另一种方法是使用拉格朗日预解式 (Faucette 1996)。设 omega=e^(2pii/3)，定义

(1,x_1)=x_1+x_2+x_3
(85)
(omega,x_1)=x_1+omegax_2+omega^2x_3
(86)
(omega^2,x_1)=x_1+omega^2x_2+omegax_3,
(87)

其中 x_i 是

x^3+px-q=0,
(88)

的根，并考虑方程

[x-(u_1+u_2)][x-(omegau_1+omega^2u_2)][x-(omega^2u_1+omegau_2)]=0,
(89)

其中 u_1 和 u_2 是复数。根是

x_j=omega^ju_1+omega^(2j)u_2
(90)

对于 j=0, 1, 2。相乘得到

x^3-3u_1u_2x-(u_1^3+u_2^3)=0,
(91)

可以写成 (88) 的形式，其中

u_1^3+u_2^3=q
(92)
u_1^3u_2^3=-(p/3)^3.
(93)

Berndt (1994) 给出了一些由拉马努金发现的关于三次方程根的有趣的恒等式。

另请参阅

不可约情形, 三次方程, 三次多项式, 多项式判别式, 二次方程, 四次方程, 五次方程, 六次方程

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上引用

三次公式

请引用为

Weisstein, Eric W. "三次公式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CubicFormula.html

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