连分数常数

许多闭式常数可以通过具有特别简单的广义连分数的部分分子和分母获得。

拉马努金连分数提供了一类引人入胜的连分数常数。Trott 常数是意想不到的常数，其部分分子和分母对应于它们的十进制数字（尽管为了实现这一点，有必要允许一些部分分子等于 0）。

一系列其他著名的连分数常数中的第一个是无限正则连分数

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常数的前几个收敛项 为 0, 1, 2/3, 7/10, 30/43, 157/225, 972/1393, 6961/9976, ... (OEIS A001053 和 A001040)。

分子 和 分母 都满足递推关系

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其中 具有初始条件 , 且 具有初始条件 , 。这些可以精确求解得到

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其中 是第一类修正贝塞尔函数， 是第二类修正贝塞尔函数。因此，当 时，无限连分数由下式给出

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(OEIS A052119; Lehmer 1973, Rabinowitz 1990; Borwein et al. 2004, p. 35)。

由广义连分数定义的Related constant

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具有 th 收敛项由下式给出

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其中 是伽玛函数， 是次阶乘。因此，前几个收敛项 为 1, 1/2, 3/5, 11/19, 53/91, 103/177, ... (OEIS A053557 和 A103816)。当 时，这给出了值

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(OEIS A073333)。

另一个可以闭式计算的类似连分数常数是

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(OEIS A111129)，其中 erfc 是互补误差函数。收敛项的闭式形式未知，但对于 , 2, ..., 前几个收敛项为 1, 1/3, 2/3, 4/9, 7/12, 19/39, 68/123, ... (OEIS A225435 和 A225436)。

另一个闭式连分数由下式给出

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(OEIS A113011)。前几个收敛项为 5/3, 29/19, 233/151, 2329/1511, 27949/18131, 78257/50767, ... (OEIS A113012 和 A113013)。

具有成等差数列的部分商的一般无限连分数 由下式给出

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(Schroeppel 1972) 对于实数 和 。

Perron (1954-57) 讨论了具有比等差数列更一般的项的连分数，并将它们与各种特殊函数联系起来。但是，他似乎没有具体考虑方程 (24)。